Arithmétique

[kadaid]

Bonjour
Voici un exercice de bac étranger:(Un) une suite définie par U0=1 et pour n entier naturel U(n+1)=7*Un+8

J'ai répondu aux premières questions ci dessous:
On démontre par récurrence que 3*Un=7^(n+1)-4
On donne: Sn=1+7+7²+...+7^n et Rn=U0+U1+U2+...+Un
On démontre que Sn=1/6*(7^(n+1)-1) et la relation Rn=1/3* [Sn-1+7^(n+1)-4(n+1)]
On démontre que: 18Rn=7^(n+2)-24n-31
On calcule les restes de 7^n par 5: {1;2;4;3}. La suite des restes est périodique.

Voici la question qui me bloque: Déterminer n pour que Rn soit divisible par 5
inverse modulaire 18 par 5 est 2
donc Rn = 2*7^(n+2)-48n-62 [5]
Rn = 2*49*7^(n)-48n-62 [5]
Rn = 3*7^(n)-3n-2 [5]
Rn = 3*7^(n)-3n+3 [5]
Rn = 3( 7^(n)-n+1 ) [5]
Je n'arrive pas à finir.

Merci pour des réponses

[Pseuda]

Bonjour,

On a déjà 7^n = 2^n pour simplifier. Puis tu peux calculer 3( 2^(n)-n+1 ) [5] pour n allant de 0 à 20 [5]. (sinon, je n'ai pas contrôlé).

EDIT : Au-delà de 20, .

Comment trouve-t-on le 20 ? Calcule et simplifie : 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5... on remarque que 2^4=1, alors sans plus de calculs, 2^5=2 [5], 2^6=... On conjecture une règle que l'on démontre...

[Tiruxa47]

Bonjour,

2^n est congru à 1,2,4 ou 3 modulo 5 (soit un cycle de 4 valeurs)
n est congru à 0,1,2,3 ou 4 modulo 5 (soit un cycle de 5 valeurs)
Pour étudier tous les résultats possibles il faut étudier un cycle de 20 (ppcm de 4 et 5) valeurs

2^n - n doit être congru à -1 modulo 5
cela se produit si 2^n est congru à 1 avec n congru à 2
ou 2^n congru à 2 avec n congru à 3
ou enfin 2^n congru à 3 avec n congru à 4.

Je te laisse terminer

[zygomatique]

salut

je suis persuadé que l'énoncé n'est pas :

on démontre par rec ...
on donne ...
on démontre que ...
on démontre que ...
on calcule les restes ...

il serait bien de comprendre qu'il est temps de donner un énoncé exact et complet ... car sa structure, sa rédaction .. permettent d'en déceler éventuellement une certaine logique ... qu'éventuellement tu ne perçois ...

à tout le moins donner un lien pointant sur le sujet sinon ...

donc

donc

et

[kadaid]

Bonjour et merci pour les réponses.

Je cite zygomatique

on démontre par rec ...
on donne ...
on démontre que ...
on démontre que ...
on calcule les restes ...

L'énoncé pose la question: démontrer que...
Quant j'écris: on démontre que..., il faut comprendre: j'ai démontré que...
C'est vrai ça fait un peu brouillon mais l'énoncé est rédigé en arabe ( bac algérien).

Si quelqu'un lit l'arabe je peux donner le lien.

[Lostounet]

Moi je lis l'arabe :p mais il faudrait que les membres du forum comprennent.

Donc il vaut mieux à l'avenir traduire (comme tu peux hein) les sujets pour qu'un max de monde puisse te suivre.

[kadaid]

Bonjour Lostounet
Voici le lien. Il faut choisir le sujet " mathématiques option maths".

http://www.ency-education.com/bac2017.html

[Lostounet]

Bonjour Lostounet
Voici le lien. Il faut choisir le sujet " mathématiques option maths".

http://www.ency-education.com/bac2017.html

Ah mais je vois qu'il y a des corrigés aussi non ?
الحلول

[pascal16]

la traduction google de la première page marche assez bien, mais sur les scans, ça va pas...

[kadaid]

Personnellement je préfère ne pas regarder le corrigé avant de chercher un peu et demander des renseignements à droite à gauche.
Bien sûr je regarderai le corrigé à la fin, mais le corrigé n'est pas assez complet en général, on donne juste le résultat.

Mais je trouve que c'est assez difficile dans l'ensemble!

[Lostounet]

C'est vrai que c'est pas très facile..!

Mais il y a aussi un très grand nombre de questions classiques (ce qui ne signifie pas que c'est forcément facile)...