Arithmétique

[Hlb28]

Bonjour,
J'ai un problème avec cet exo d arithmétique svp
"Soient a et n deux entiers strictement positifs et p un nombre premier impair tel Que a^p congru à 1 mod p^n.
Prouver que a congru a 1 mod p^(n-1)"
Merci d avance

[Ben314]

Salut,
Je sais pas trop quel niveau tu as en arithmétique don je sais pas si tu as vu le petit théorème de Fermat. Si oui, une méthode :
Comme on a et, comme (Fermat) en fait .
Donc divise et on peut écrire avec le plus grand possible, donc avec qui ne divise pas .
On a alors
Et, comme , cela prouve que , c'est à dire, vu la définition de , que divise .

On peut aussi le démontrer en une ligne si on sait que le groupe multiplicatif des éléments inversibles de est cyclique d'ordre (pour ), mais ça demande bien plus de connaissances en arithmétique (par contre, ça démontre immédiatement qu'il y a non seulement implication, mais équivalence).

[LjjMaths]

Salut,
Si tu as vu Fermat et les valuations p adique on peut raisonner ainsi
Comme l'a dit Ben, on montre que
De plus, Fermat donne
Donc
Ainsi, mais p ne divise ni a ni 1
On peut donc utiliser le théorème LTE
On obtient :

Or on a donc
Donc


Et on a ainsi ce qu il fallait démontrer

[zygomatique]

salut

c'est quoi le théorème LTE ?

[LjjMaths]

Salut,
LTE signifie "Lifting the exponent"
Soit un nombre premier impair. Soient et deux entiers relatifs distincts et un entier . Si mais Que ne divise pas et alors

[zygomatique]

merci ...