Arithmétique

[kamena]

bonjour!
s'il vous plait j'ai besoin d'aide pour cet exercice.
voici l'énoncé:
Pour tout entier naturel ,on pose
.
a)montrer que pour tout n .
b)déterminer l'ensemble S des entiers telsque An soit congrue à zéro modulo 7.

pour 1)ç a va mais je suis bloque en 2· merci d'avance

[Tiruxa47]

Bonjour,
Le a) dit que si c'est vrai pour un certain n c'est vrai aussi pour n-3, n-6,.... donc pour tout entier congru a n modulo 3
Il suffit de chercher parmi 0,1 et 2 pour les trouver tous.

[kamena]

salut !je ne comprend pas tellement.
pouvez-vous m'expliquez davantage. merci!

[Tiruxa47]

Bon d'abord je démontrerais que si n et p sont congru modulo 3 alors An et Ap sont congrus modulo 7.
Ensuite on calcule A0 modulo 7 , on trouve 3, donc idem pour tous les entiers congrus à 0 modulo 3 (cad les multiples de 3) qui ne sont pas solutions du problème.
Ensuite A1=14 est congru à 0 modulo 7, 1 est solution du problème de même que tous les entiers congru à 1 modulo 3, c'est à dire de la forme 3k+1 avec k entier naturel.
Je te laisse chercher A2

[nodgim]

On peut faire aussi :
2^n + 2^2n + 2^3n = 2^n (1 + 2^n + (2^n) ² ) = 2^n (2^3n -1) = 2^n ( 8^n - 1 )
Comme 8 = 1 modulo 7 :
= 2^n ( 1^n - 1) = 2 ^n ( 1-1) = 0

[kamena]

pour n=2 on a
partant de la quel sera l'ensemble S des entiers n tq.
merci d'avance !

[zygomatique]

salut



or 1 + 2 + 4 = 7

...

[Tiruxa47]

On peut faire aussi :
2^n + 2^2n + 2^3n = 2^n (1 + 2^n + (2^n) ² ) = 2^n (2^3n -1) = 2^n ( 8^n - 1 )
Comme 8 = 1 modulo 7 :
= 2^n ( 1^n - 1) = 2 ^n ( 1-1) = 0

En fait, on a :

si n est non nul (car pour n nul est nul)

D'autre part si on passe en modulo 7, le dénominateur va poser des problèmes pour les n qui sont multiples de 3... on retrouve le résultat que je donnais.

[nodgim]

Juste, mon raccourci était un peu rapide. Cela dit, il n'y a au final que 3 cas à considérer, car la séquence des valeurs de 2^n [7] est de longueur 3. ça n'emmène pas loin de calculer les 3 cas. Après, les autres approches sont surtout esthétiques.