Arithmétique

[dias65]

bonjour,
j'ai besoin d'aide pour cette question:
soit a et b deux entiers naturels tels que a²+a = 7*b^3
Montrer que a et b^3 sont premiers entre eux.
Merci.

[anthony_unac]

Bonjour,
Et pourquoi ne pas commencer par simplifier l'expression en factorisant par exemple
Ensuite on pourra facilement identifier

[zygomatique]

énoncé probablement incomplet ...

[Pseuda]

Bonsoir,

Une piste : a^2+a=a(a+1) et a et a+1 sont premiers entre eux. Et 7 est un nombre premier qui divise deux nombres premiers entre eux.

[nodgim]

a ( a + 1 ) = 7 b^3
a² + a - 7 b^3 = 0
Delta D = 1 + 28 b^3
doit être un carré parfait
1 + 28 b ^ 3 = c²
28 b ^ 3 = ( c - 1) ( c + 1 )
b doit être pair !
7 * 2^5 * b'^3 = ( c - 1) ( c + 1 )
le cube est à placer soit dans c-1, soit dans c+1, mais n'est pas distribué dans les 2 facteurs.
le 2^5 se distribue de la façon suivante: Dans l'un, 2^4, dans l'autre 2.
Le 7 se place dans l'un ou l'autre des facteurs.
Et avec tout ça, dans c-1 ou c+1, on ne doit rien trouver d'autre.
Ce qui limite fortement les possibilités !

[Ben314]

Salut,

7 * 2^5 * b^3 = ( c - 1) ( c + 1 )
le cube est à placer soit dans c-1, soit dans c+1, mais n'est pas distribué dans les 2 facteurs.

Sauf erreur, on a c-1=u.b' et c+1=v.b'' avec uv=7.2^5 et b'b''=b^3, mais qu'est ce qui te permet de dire que
(b',b'')=(1,b^3) ou (b^3,1) et pas autre chose ?

[nodgim]

Rien, en effet...
Retour à la case départ.