DM arithmétique

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tejheur
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DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 20:35

Bonjour,
Je suis en Terminale S
C'est la première fois que je demande de l'aide pour un devoir de maths
J'ai tout essayé, je suis bloqué à cet exercice (spé maths):

a, b et c désignent des entiers naturels non nuls tels que a et b sont premiers entre eux et c divise a+b
Démontrer que a et c sont premiers entre eux


je pense qu'il faut faire par l'absurde mais je n'y arrive pas
J'ai traduit l'énoncé par PGCD(a;b)=1 et a+b=kc

Je vous remercie d'avance



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zygomatique
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Re: DM arithmétique

par zygomatique » 21 Jan 2017, 20:44

salut

écrire pgcd (a, b) = 1 n'aide pas beaucoup ... puisque c'est dire la même chose que ""a et b sont premiers entre eux""


si d divise a et c alors d divise a et a + b

donc ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

tejheur
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Re: DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 20:46

Merci beaucoup, je me doutais que ce ne serait pas d'une grande aide mais je ne vois pas où vous voulez en venir

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zygomatique
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Re: DM arithmétique

par zygomatique » 21 Jan 2017, 20:48

un peu de sérieux !!!

quelle est la première propriété fondamentale de l'arithmétique que tu as vue ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

tejheur
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Re: DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 20:55

D'accord je vois c'est la propriété de combinaison linéaire
Donc si j'ai bien compris
Si d divise a et c alors d divise a+b or c divise a+b donc d divise c
Mais pourquoi introduire une nouvelle variable ?

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zygomatique
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Re: DM arithmétique

par zygomatique » 21 Jan 2017, 21:04

tejheur a écrit:D'accord je vois c'est la propriété de combinaison linéaire
Donc si j'ai bien compris
Si d divise a et c alors d divise a+b or c divise a+b donc d divise c
Mais pourquoi introduire une nouvelle variable ?

super ... et ça veut dire quoi ?

ok pour la propriété ...

je répète donc ce que j'ai dit :

si d divise a et c alors d divise a et a + b

donc ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 21:21

donc d divise 2a + b ?

tejheur
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Re: DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 21:23

donc d divise a + (a+b) c'est à dire d divise a+c ?

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zygomatique
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Re: DM arithmétique

par zygomatique » 21 Jan 2017, 21:39

misère de misère ... au lieu de lancer un dé ne peux-tu pas réfléchir ...

si d divise a et c et si on veut montrer que a et c sont premiers entre eux que peut valoir d ?

donc on aimerait que d divise quoi ?
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 21:57

Pardonnez-moi mais j'essaye de réfléchir je tente des choses je ne vois pas où vous voulez en venir en introduisant une nouvelle variable. Je comptais passer peu de temps sur ce devoir pour réviser mon devoir de maths de 4h.
Je pense que d doit diviser a+c et a+b

Merci pour votre patience

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Re: DM arithmétique

par tejheur » 21 Jan 2017, 21:58

De plus, nous avons terminé de voir le PGCD je suis étonné que l'exercice ne fasse pas appel à cette notion. N'y-a-t-il pas moyen avec le PGCD ?

nodgim
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Re: DM arithmétique

par nodgim » 22 Jan 2017, 11:21

Je le fais à ma manière, à toi de voir si ça te plait ou pas....
k*c = a + b (de par l'énoncé)
c = j c' et a = j a' avec j > 1 si on suppose qu'il y a un facteur commun à a et c.
k j c' = j a' + b donc b = j ( kc' - a') = j b' , donc j est facteur commun à b et a, contraire à l'énoncé.
Donc j > 1 n' existe pas, donc a premier avec c.
Même démo si on veut montrer que c est premier avec b.

Pseuda
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Re: DM arithmétique

par Pseuda » 22 Jan 2017, 13:26

tejheur a écrit:De plus, nous avons terminé de voir le PGCD je suis étonné que l'exercice ne fasse pas appel à cette notion. N'y-a-t-il pas moyen avec le PGCD ?

Bonjour,

Pour tout entier k, PGCD (a;b) = PGCD (a ; b-ka). Donc PGCD (a ; b)=PGCD(a ; a+b)=1

Et avec c|a+b, PGCD(a;c) divise PGCD(a;a+b)=1
Modifié en dernier par Pseuda le 23 Jan 2017, 17:51, modifié 1 fois.

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Re: DM arithmétique

par zygomatique » 22 Jan 2017, 15:28

tejheur a écrit:De plus, nous avons terminé de voir le PGCD je suis étonné que l'exercice ne fasse pas appel à cette notion. N'y-a-t-il pas moyen avec le PGCD ?
et alors ?

la notion de pgcd c'est sa définition ... epictou ...

le pgcd de deux nombres est un diviseur de ces deux nombres et c'est le plus grand ... et il n'y a rien d'autre à savoir ... (du moins pour l'instant)

ensuite il y a la définition de deux nombres premiers entre eux

DEF : deux nombres (a et b) sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 (et -1 dans Z)

et d'après la définition du pgcd c'est la même chose d'écrire pgcd (a, b) =1


mais ça ne fait pas avancer le schmilblick !!!!


1/ a et b sont premiers entre eux (<=> pgcd (a, b) = 1 mais surtout leur seul diviseur commun est 1)
2/ c divise a + b (et même pas besoin de traduire cela ""en mathématique""

si d divise a et c alors d divise a et a + b

(car : si c divise a + b alors tout diviseur de c divise a + b)

alors par combinaison linéaire d divise (-1)a + 1(a + b) = b

donc d divise b


par conséquent d divise a et b et par hypothèse d = 1

donc a et c sont premiers entre eux

....

et inutile de sortir de quelconques formules ... par contre l'exercice du raisonnement par application des premières propriétés vues dans le premier cours sur la divisibilité est un bon exercice de révision et de raisonnement ...

;)
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Re: DM arithmétique

par Ben314 » 22 Jan 2017, 19:25

Salut,
Pour "enfoncer le clou", lorsque zygo écrit dans sa première réponse (9' aprés la question) que :
zygomatique a écrit:si d divise a et c alors d divise a et a + b
donc ....
je trouve qu'il faut être un peu gonflé pour dire que ça utilise pas la notion de plus grand diviseur commun.
Certes, le dont il parle n'est pas forcément le plus grand possible mais vu que ce qu'il te demande de faire comme raisonnement est valable pour n'importe quel d qui divise a et c, si ça te chante, tu peut le prendre le plus grand possible donc prendre d=pgcd(a,c) et là, tu sera content, tu aura effectivement utilisé les 4 lettres qui te tiennent tant à cœur.
Sauf que d'un autre coté, ça me semble très con vu que justement tout ce qu'on va raconter n'a rien a voir avec le fait d'avoir pris d le plus grand possible...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
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Re: DM arithmétique

par Pseuda » 23 Jan 2017, 17:55

Bonjour,

Utiliser la notion de PGCD pour cet exercice-là, est en effet "tiré par les cheveux". On peut s'en tirer (hum) autrement. Mais c'est faisable.

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Ben314
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Re: DM arithmétique

par Ben314 » 23 Jan 2017, 19:28

Je me suis peut-être mal fait comprendre, mais j'ai pas dit que c'était forcément con d'utiliser des PGCD, mais que si on suis la démarche de zygomatique (qui est aussi celle que j'aurais suivi, mais ce n'est évidement pas la seule) alors on peut se contenter de la notion de CD qui ne soit pas forcément PG.
Et on peut rajouter que ça tient principalement au fait que PGCD=1 ssi tout CD (positif) est égal à 1 donc que lorsque l'on doit montrer que des trucs sont premiers entre eux, ben la notion de CD est suffisante...
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