Arithmétique

par **Anonyme** » 13 Jan 2006, 20:41

Encore une fois une question en arithmétique. Je vais poser l'exercice en entier
1) Démontrer que quelque soit n de IN : 24n²+8n=0 [16] et en déduire que
(2n+1)^4=1 [16]
2) Soit a de IN. Montrer que a^4=1 [16] ou a^4=0 [16] et en déduire que si le nombre (16n+15), n de IN, est sous la forme
16n+15=x1^4+x2^4+...+xk^4 alors k est supérieur ou égal à 15
(pour les xi^4 : x indice i à la puissance 4)
(autre chose, pour la deuxième question, sur le livre il y a "a^4=1 [16] et a^4=0 [16]" je crois que c'est "ou" et non pas "et").
Alors, j'aimerais obtenir de l'aide sur la déduction de la deuxième question. Merci en avance

par **Anonyme** » 13 Jan 2006, 21:31

personne n'a une idée ?!! s'il vous plait, j'en ai vraiment besoin

par **flight** » 13 Jan 2006, 21:36

salut , je suis dessus , un peu de patience....

par **Mikou** » 13 Jan 2006, 21:37

1° pour la premieer partie tu peux le montrer par recurrence quant a (2n+1)^4 tu ferais bien de le dvl.

par **Anonyme** » 13 Jan 2006, 21:56

Mikou a écrit:1° pour la premieer partie tu peux le montrer par recurrence quant a (2n+1)^4 tu ferais bien de le dvl.

pour la récurrence je ne l'ai pas testé, mais avec le triangle de Pascal, ça sort en dansant ^^ déjà tu vas obtenir des coefficients qui congru 16 comme 32 et 16 même, et t'as ce que tu veux ^^

par **flight** » 13 Jan 2006, 22:00

dans N il y a des nombres pairs et impairs

si n=2.k

alors 24.n²+8n=24(2k)²+8(2k)=96k²+16k

on vois vite que 96=16.6+0 donc 96=0[16]
et 16=0[16]

alors 96k²=0[16] et 16.k=0[16]

donc 96k²+16k=0[16]

on a verifé que 24n²+8n est congruent à 0 mod 16 avec n paire

verifions avec les termes impaires;

n=2k+1

24(2k+1)²+8(2k+1)=24(4k²+4k+1) +16k+8=96k²+96k+24+16k+8=96k²+112k
32=

on a vu que 96=0[16] alors 96k²=0[16] ,
112=16.7+0 alors 112=0[16] et 32=16.2+0 et donc 32=0[16]

donc 96k²+112k+32=0[16] c'est bon pour les termes impaires donc

c'est ok pour tout entier dans N

par **Anonyme** » 13 Jan 2006, 22:20

J'ai pu résoudre tout l'exo, la partie qui me pose problème est la dernière, celle où on demande de prouver que k est supérieur ou égal à 15 pour le nombre 16n+15 admettant une forme de somme de puissance de 4. Pour le début, c'est fastoche ^^ si je trouve la solution, j'hésiterai pas à la poser, merci quand même pour tout

par **Galt** » 13 Jan 2006, 23:03

Ben, on sait qu'une puissance quatrième est congrue à 0 ou à 1 modulo 16. Pour fair 115 comme congruence, il faut forcément au moins 15 puissances, non ?

par **allomomo** » 14 Jan 2006, 00:44

Salut,

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