Arithmétique relativement simple :)

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde !

Mon exo de géométrie n'a pas rencontré un grand succès ! Vous n'aimez pas ça ?!
Je vous propose un exercice d'arithmétique (pour changer ...) que je viens de découvrir. Je ne l'ai pas encore résolu mais une première lecture de l'énoncé m'a donné quelques idées que je vous exposerai après.

Enoncé :

Soient a et b deux entiers strictement positifs tels que ab+1 divise a²+b².
Montrer que (a²+b²)/(ab+1) est un carré parfait.

Comme ça très rapidement je pense que je vais commencer par poser (a²+b²)/(ab+1)=k puis procéder par l'absurde en supposant k non carré parfait.

Enjoy

Tim

[benekire2]

Par définition on a: (a²-b²)=k(ab+1) soit (a+b)(a-b)=k(ab+1) et après... Je réfléchis.

EDIT: En plus c'est faut ce que je viens d'écrire

[Timothé Lefebvre]

Hum, c'est pas vraiment comme ça que je partirais.
Remarque que (a²+b²)/(ab+1)=k s'écrit aussi
b²-(ka)b+a²-k=0.
Ici j'ai un polynôme du second degré, quelles sont ses racines ?

Il faudrait aussi établir une relation d'ordre entre a et b.

[benekire2]

on a deux termes différents au carré , alors j'en sais trop rien

[Timothé Lefebvre]

Déjà je pose un couple de (a,b) tel que max(a,b) soit minimum. J'étudie le cas a=b et ce qu'il signifie sur la valeur de k. De là je déduis la relation de supériorité ou inferiorité qu'il existe entre a et b (et avec 0 ?).

Allez, j'arrête de trop en dire :zen:

[benekire2]

qu'es que max(a,b) ?

[Timothé Lefebvre]

La plus grande valeur de a et b.

[benekire2]

ok, ben je vais y réfléchir ce soir, je souhaite bon courage aux fous de l'arithmétique, a demain,
benek

[Timothé Lefebvre]

Je te montre ce que j'ai fait (maintenant que j'ai recopié plus clairement mon brouillon )

J'ai donc tels que . Je prends un couple (a,b) tel que max(a,b) ait une valeur minimum. Je suppose donc que et j'ai .

C'est un polynôme de degré 2 tel que , donc j'ai
X -> X²-(ka)X+a²-k avec pour racine réelle b et b'. Je sais que b' est entier (car b+b'=ka). Si j'encadre b' je tombe sur :

1) b'0 alors j'ai encore :

a) si b'<0 j'ai k=(a²+b'²)/(ab'+1)<0 (contradiction)

b) si b'=0 j'ai a²=k (contradiction aussi).

Au final, j'ai un couple (a,b') solution pour 0 < b' < a d'où la fin de mon raisonnement.

[benekire2]

Bonjour,
En fait je viens de relire la réponse de Tim, et je n'arrive plus a suivre le raisonnement à partir de là : b²-(ka)b+a²-k=0

Es-ce que quelqu'un pourrait me ré-expliquer de manière à ce que une élève de première puisse comprendre ?

Je vous remercie.

[Timothé Lefebvre]

Eh bien je pose le changement de variable X=b.
b est la première racine réelle du polynôme, b' est la seconde.

b' est entier car j'ai b+b'=ka (au programme de 1S, somme des racines). Il me reste à encadrer b' en faisant une étude de cas.

[Timothé Lefebvre]

Es-ce que quelqu'un pourrait me ré-expliquer de manière à ce que une élève de première puisse comprendre ?

Nous sommes tous les deux en première, on devrait pouvoir se comprendre

[benekire2]

D'accord, je comprends mieux maintenant, merci.
Tim, dit toi que peut être beaucoup de choses sont logiques pour toi et pas forcément pour les autres , j'ai beau être en Première S je ne comprends pas tout ce que tu dit des fois !!

[Timothé Lefebvre]

Oui je comprends bien, tout n'a pas toujours été logique pour moi non plus !
Mais il faut bien se dire que ces exos ne sont pas non plus le genre que l'on rencontre en DM ou DS de 1S donc forcément ils exigent un peu plus de savoir faire.
Celui-ci vient avec la pratique ;)

[benekire2]

Tu fais comment pour justement arriver a être un cran au dessus ? Tu as un prof ou tu lis ?

[Timothé Lefebvre]

Un prof euh ... Non pas vraiment.
En fait je lis tout seul, j'ai pas mal de bouquins et il y a de très bons cours sur le Net.

Parfois aussi quand j'ai des soucis (notamment en physique mais aussi parfois en maths) ça m'arrive de demander à mon père (Dominique, il est sur ce forum).

Sinon c'est vrai que je bosse pas mal les maths, et même presque exclusivement que ça, je rends beaucoup de boulot à ma prof pour qu'elle corrige. Si je lui donne certains de mes travaux c'est pour contrôler que ce que je fais tout seul reste juste scolairement parlant, particulièrement au niveau des justifications, c'est le principal problème.
Il ne faut pas se mélanger les pinceaux entre le hors programme et ce qu'on fait en cours.

A part ça je pense que c'est une question de motivation et d'entraînement. Je fais ça depuis ma 3e et pour l'instant ça me va. Je passe aussi beaucoup de temps sur ce forum pour aider les personnes dans le besoin et proposer quelques exos plus intéressants que la moyenne, destinés à des élèves comme toi qui veulent chercher :)

[benekire2]

Justement, il se trouve que je suis assez motivé :) et j'aimerais bien enrichir mes connaissances en math. Alors, t'aurais des sites à me proposer qui te paraissent bien pour progresser ?

[Timothé Lefebvre]

Oui

Le premier est un site très connu où les cours sont très bien faits : http://www.bacamaths.net/
Tu y trouveras tout le programme du lycée et celui de sup. L'avantage ici est que les notions sont approfondies, les justifications sont très bien faites.

Le second est le site d'Animath, l'organisation qui coach la sélection française pour les Olympiades Internationales : http://www.animath.fr/spip.php?rubrique10
Ici tu trouveras les techniques et raisonnements de base à connaître pour résoudre des problèmes d'OIM.

Si tu commences déjà par ces deux-là c'est bien

[Timothé Lefebvre]

Une remarque sur le site de Constantini : ses PDF sont très bien foutus mais certaines connaissances qu'il aborde ne sont pas (ou plus) au programme officiel, d'où les soucis que tu peux avoir si tu utilises certains de ces éléments en contrôle sans les démontrer.

[benekire2]

Ok, ben je te remercie tim, maintenant je vais pouvoir me concentrer sur quelque chose de fiable et pouvoir approfondir mes connaissances, encore merci !!