Arithmétique division

[dadaclecle]

Bonjour ,
on me demande quels sont le quotient et le reste dans la division par 2^23 + 2 + 1 de 2^40 + 2^28 + 2^23 + 2^20 + 2^18 + 2^17 + 2^6 + 2^5 + 2 + 1

Merci pour votre aide
Cordialement

[nodgim]

Comme tu as affaire à des puissances de 2, c'est comme ci tu ôtais plusieurs fois (23,1,0) à (40,28,23,20,18,17,6,5,1,0)
(40,28,23,20,18,17,6,5,1,0)- (23,1,0) = (40,28,20,18,17,6,5)
(40,28,20,18,17,6,5) - (5)(23,1,0)=(40,28,20,18,17,6,5)-(28,6,5)=(40,20,18,17)
(40,20,18,17)-(17)(23,1,0)=(40,20,18,17)-(40,18,17)=(20)

[Ben314]

Salut,
Faire la "division Euclidienne" de (entier relatif) par (entier naturel non nul), ça veut dire arriver à écrire sous la forme où (=quotient) est un entier relatif et (=reste) est un entier tel que .
Le truc a savoir, c'est qu'une telle écriture est unique donc on peut employer absolument n'importe quelle méthode pour obtenir le résultat en question.
Une méthode classique consiste à écrire une série d'égalités dans laquelle les sont de plus en plus "petits" jusqu'à ce que le dernier vérifie .

Comme ça reste très théorique, prenons l'exemple où et .
Tu as du apprendre dans le primaire à "poser" la division. Fait le (j'ai la flemme de l'écrire en MimeTeX vu que c'est un peu chiant de faire des tableaux).
Tu peut alors vérifier que ce que tu as fait, ça correspond précisément à écrire que

Et ce que je voulais "pointer du doigt", c'est qu'on aurait pu aller un peu plus vite en acceptant des "restes négatifs", par exemple, le premier truc qu'on a cherché à diviser, c'est 20 par 7 et on a dit qu'il y allait 2 fois et qu'il restait 6 : 20=2x7+6, mais comme il y va "presque" 3 fois, on pourrait songer à écrire à la place 20=3x7-1 qui n'est pas une "division euclidienne" mais qui donne un "reste" -1 plus petit en valeur absolue que le "vrai" reste égal à 6.
Si on revient à la division complète de 2082 par 7, ça correspond à écrire comme première étape que et on peut parfaitement continuer en effectuant la division de -18 par 7 qui est qui nous donne .
Le seul truc auquel il faut faire un peu attention, c'est au fait que la division euclidienne de -18 par 7, ce n'est pas la même chose que celle de +18 par 7, mais même ça, ce n'est pas super grave vu que, si on avait écrit que , ça aurait donné qui ne correspond pas à la division euclidienne vu que le reste est <0, mais c'est facile à rectifier en écrivant que .
Enfin bref, tout ce laïus pour dire qu'on peut faire un peu n'importe quoi, pourvu qu'a la dernière étape ait un reste tel que .

Pour en revenir à ton exercice où et , quelle valeur très simple prendrait tu pour de façon à ce que avec "plus petit" que ?
Si tu préfère te poser la question différemment, on peut formuler ça en disant "ça vaut à peu prés combien la division de par ?" (sans machine évidement)