Arithmétique: diviseur commun

[marco_seb]

Bonjour à tous,

J'ai un blocage sur la question suivante:
Soit k un entier naturel, a=9k+2 et b=12k+1.
montrer que les seuls diviseurs possibles et communs aux entiers a et b sont :
(-5),(-1), 1 ou 5.
Merci d'avance.

Marco.

[beagle]

t'as un blocage, moi cela me file une hernie discale ton truc,
pour k=1
a=11 et b=13 c'est divisible par 5 mais pas en entiers!!!!

[beagle]

tu multiplies par 4 l'equation avec a
et par 3 celle de b
tu soustraits,
les k s'en vont,il reste:

[chombier]

Bonjour à tous,

J'ai un blocage sur la question suivante:
Soit k un entier naturel, a=9k+2 et b=12k+1.
montrer que les seuls diviseurs possibles et communs aux entiers a et b sont :
(-5),(-1), 1 ou 5.
Merci d'avance.

Marco.

J'utiliserais l'algorithme d'Euclide :

si k=0, a=2 et b=1, les seuls diviseurs commun possibles sont -1 et 1

si k>=1
b=12k+1 ; a=9k+2 et (12k+1) = (9k+2) x 1 + (3k-1)
Donc pgcd(a, b) = pgcd(12k+1, 9k+2) = pgcd(9k+2, 3k-1)
9k+2 = (3k-1) x 3 + 5
Donc pgcd(a, b) = pgcd(9k+2, 3k-1)= pgcd(9k+2, 5)

si 9k+2 est un multiple de 5, pgcd(a,b) = 5 et les diviseurs communs à a et b sont {-5; -1; 1; 5}
Sinon, pgcd(a, b) = 1 et les diviseurs communs à a et b sont {-1; 1}

9k+2 est un multiple de 5 ssi 9k+2 = 0 (5)

Il peut être intéressant ensuite de chercher pour quelles valeurs de k l'égalité "9k+2 = 0 (5)" est vraie.