Arithmétique dans Z (spécialité math)

[AnotherAccount]

Bonjour ! Alors voilà, on m'as donné un exercice qui s'énonce comme ci-joint : «a et b deux entiers naturels tels que la division euclidienne de a par b est: a= 625b +8634. Déterminer les entiers naturels n tels que si on divise a+n par b+n, on obtient le même quotient». Plutôt simple à comprendre je pense, mais pour le résoudre c'est une autre histoire..

Je pense qu'il y aura forcément une combinaison linéaire à faire, mais il faut transformer l'énoncé en une autre forme.

J'ai a+n=q(b+n) donc 625b+8634+n= qn + qb après factorisation j'obtiens b(625-q)+8634=n(q-1), ce qui m'a l'air plutôt potable. Mais c'est là que je bloque. Dois-je isoler n, ou q, pour ensuite bidouiller avec la propriété de la division euclidienne qu'es 0=<8634<b ? Ou dois-je carrément isoler q peut-être ?

Bref je bloque.

Une âme charitable pourrait me donner un coup de pouce ? Merci =)

[pascal16]

je ne suis pas du tout un spécialiste des équations diophantiennes, voici une piste qui n'utilise pas les grands théorèmes.

0=<8634<b ne dit en effet pas grand chose sur b

a= 625b +8634
et
(a+n) = 625(b+n) + ?

soit
a-625b = 8634
et
a+n = 625b + 625n + ?
a-625b = 624n+?
8634 = 624n +?
8634-?=624n

info 1 : 624n étant positif car n entier naturel, on a que ? <= 8634
info 2 : 8634-? doit être divisible par 624 : que 14 cas possibles

[lyceen95]

a = 625b+8634
Soit n entier. La question est : Dans quels cas (a+n) - 625(b+n) est dans l'intervalle [0,b+n[

Ca nous donne 2 inéquations, ça devrait se résoudre assez bien, non ?

[AnotherAccount]

Sacrebleu, je viens de comprendre ! Okay merci à vous deux, cœur sur vous. Portez vous bien et sûrement à une prochaine fois =)