Arithmétie,bezout,euclide,gauss,descente

[pirox]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour la correction d'un contrôle et la compréhension de mes cours

Question de cours

2.rappeler l’énoncer du lemme "dit descente" et en donner une démonstration !
Définition: Lemme de descente pour le PGCD. si a et b sont deux entier positifs non tous deux nuls quelconques, alors PGCD(a,b) = PGCD(b,a mod b)
pour ce qui est de la démonstration je ne vois pas comment le démontré je ne trouve pas de lemme de descente pour le PGCD

4.énoncer le théorème de Bézout.
Deux entiers a et b sont premier entre eux si et seulement si il existe deux entier u,v tel que ua+vb=1
je comprend pas si je dit que 3 et 4 sont premier entre eux je vais faire le PGCD pour vérifier 4=3*1+1 est la je vois que 3 et 4 sont premier entre eux vu que le PGCD est 1 si je fait Bézout je me visualise un truk comme ça 3u+4v = 1 est la je suis perdu je fait quoi après ?

5.Rappeler l'énoncer du lemme de gauss et en donner une démonstration !
Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a doit diviser c
démonstration:
si a et b sont premier entre eux alors PGCD(a,b) = 1 si est seulement si il existe 2 entier u,v tel que ua+vb=1 je multiplie par c des 2 côté uac+vbc = c puis je prouve que a divise bc donc je multiplie par b des 2 côter bc(ua+vb)=1

Exercice 4 une démonstration du théorème d’Euclide

1.soit n un entier tel que n⩾ 2 . démontrer n ne peu diviser 2 entiers consécutifs.
si je devais définir 2 entiers consécutif je dirais si 2 entier relatif tel que a et b et que a=b+1 alors a et b sont 2 entier consécutif mais comment démontrer que n ne peu diviser a et b ?

2.Soit m un entier plus grand que 2 . un diviseur d de m est dit strict si d>1. démontrer que le plus petit diviseur strict de m est nécessairement un nombre premier. En déduire que tous nombre entier plus grand que 2 admet au moins un diviseur qui soit un nombre premier.
m=d*k m>2>d>1. d étant le diviseur strict et d>1 alors d=2 et 2 étant premier alors oui le plus petit diviseur strict est forcément premier mais comment le démontrer ?

3. Soient p1>p2>.... les nombres premiers ranger dans l'ordre croissant. que valent p1,p2,p3,p4,p5 et p8 ?
p1 = 2 ? p2 = 3 ? p3 = 5 si quelqu'un a une autre idée je veux bien savoir !

4.démontrer par l'absurde que la suite p1,p2... ce poursuit indéfiniment.
par l'absurde ? bah p1+1=p2 et p2+1=p3 p3+1=p4 .... pn+1

5.Donner deux énoncés du théorème d’Euclide : un en terme contemporains et l'autre tel qu’Euclide aurait pu l'énoncer.
en terme contemporain j'ai :
Si l'on donne une liste finie quelconque de nombre premiers, on peu toujours trouver un nombre premier qui ne soit pas dans cette liste
et en terme de l'époque je veux bien des tuyaux !