Pour tout entier naturel n, on note xn la partie entière de 10nx c'est à dire xn = E(10nx). (Je comprends absolument rien a cet énoncé...)
On considère les suites (un) et (vn) définies par un = 10-nxn et vn = un + 10-n.
Question n°1:
Montrer que pour tout entier n, unx (en gros on dit qu'elles sont adjacentes et on précise la limite ?)
x réel donné
xn=E(x10^n) donc tu multiplies x par 10^n et tu prends la partie entière du résultat
exemple on prend x=1,414
10x=14,14 donc x1=14
100x=141,4 donc x2=141
un=(10^-n)xn dans notre exemple u1=1,4 et u2=1,41
vn=un+10^-n dans notre exemple v1=1,5 et v2=1,42
Question1)
par définition de la partie entière on a:
(10^n)x - 1 E(10xn) 10xn<=x(n+1) ; car E(10xn)=10xn car 10xn est entier et x(n+1)=E((10^(n+1))x)
en multipliant chaque membre de 10xn<=x(n+1) par 10^-(n+1) on obtient
(10xn)10^-(n+1) <= x(n+1)10^-(n+1)
donc
(xn)10^-n <= x(n+1)10^-(n+1)
donc
un <= u(n+1)
donc un est croissante
b)on a xn <= (10^n)x < xn +1
on multiplie chaque membre par 10 tu as
10xn <= (10^(n+1))x < 10(xn + 1)
donc (10^(n+1))x < 10(xn + 1)
comme
x(n+1) <= (10^(n+1))x < x(n+1) + 1
:mur:
x(n+1)<10(xn + 1)
en multipliant chaque membre par 10^-(n+1)
10^-(n+1)x(n+1)+10^-(n+1) < 10^-nxn+10^-n
donc
v(n+1)<vn donc vn est décroissante
c) comme vn=un+10^-n donc (vn-un)=10^-n donc lim(Vn-un)=0
comme un est croissante et vn est décroissante donc un et vn sont adjacentes
donc elles convergent vers la même limite X
comme un<=x<vn donc lim(un)<=x<=lim(vn)
donc
X<=x<=X donc X=x
donc un et vn convergent vers la même limite x