Applications linéaire

[Andrea]

Salut!^^ Pour commencer je voulais féliciter l'équipe pour ce nouveau skin, ca change vraiment de l'ancien et c'est plus lisible.
Maintenant passons aux choses sérieuses:p

Je dois répondre à 8 questions qui constitueront la démonstration que je dois faire sur l'application linéaire... sur certaines je bloque, sur d'autres j'y arrive mais sans une réelle certitude... j'aimerai bien qu'une personne puisse m'aider pour comparer avec mes résultats. Voici les questions:

Proposition: Si f est une fonction qui vérifie f(x+y)= f(x)+f(y) pour tous x et y Alors f vérifie f(;)x)=;)f(x) pour tout rationnel.

A partir de la relation f(x+y)=f(x)+f(y).

1) Montrez que f(0)=0

2) Montrez que f(2x)=2f(x) pour tout x.

3) En déduire que f(3x)=3f(x)

4) En déduire que si on a f(nx)=nf(x), alors f((n+1)x)=(n+1)f(x)

Conclusion1: On vient de montrez que f(;)x)=;)f(x) pour tous entier positif. Montrons maintenant qu'elle reste vraie pour les négatifs.

5) En posant a=x+y et b=y, montrez que f(a-b)=f(a)-f(b) pour tous a etb.

6) A l'aide de 1 en déduire que f(-x)=-f(x) pour tous x.

Conclusion2: On a donc bien f(;)x)=;)f(x) pour tout entier. Il nous reste à passer aux rationnels.

7) A partir de f(qx)=qf(x) pour q entier, en déduire que f(x/q)= 1/q f(x).
Indication: On pourra poser qx=a et montrer que f(a/q)= 1/q f(a).

8) En déduire que pour tout p entier et q entier non nul: f(px/q)=p/q f(x).
Autrement dit que f(;)x)=;)f(x) pour tout rationnel.

Remarque et conclusion finale: Montrer que f(;)x)=;)f(x) pour tout réel à partir de l'hypothèse f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x et y, n'est pas possible. Ou du moins, il faut rajouter une condition sur f qui est sa continuité. La difficulté est de caractériser un nombre réel, car pour la plupart ils sont définis comme limite de suites de nombres rationnels. En outre, si on accepte que la fonction ne soit pas continue, on peut exhiber des "corps" où f(;)x)=;)f(x) n'est pas vraie pour tous les (seulement pour les rationnels).

[krou]

1) f(x + y) = f(x) + f(y)

en particulier f(0+0) = f(0) + f(0)
et donc f(0) = 2f(0) : si f(0) different de 0, on simplifie par f(0) et on obtient 1=2 absurde! d'ou f(0) = 0

2) f(x + x) = f(x) + f(x) <=> f(2x) = 2f(x)

3) f(2x + x) = f(2x) + f(x) <=> f(3x) = 2f(x) + f(x) (d'après 2) <=> f(3x) = 3f(x)

4) Supposons que f(nx) = nf(x), alors f((n+1)x) = f(nx + x) = f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n+1) f(x)

5) on sait que f(x + y) = f(x) + f(y), remplaçons x et y par a et b avec a = x+y et b = y

f(a) = f(a-b) + f(b) <=> f(a-b) = f(a) - f(b)

6) en particulier f(0-x) = f(0) - f(x) <=> f(-x) = -f(x) car f(0) = 0

7) f(qx) = qf(x)
posons qx = a : f(a) = qf(a/q), donc pour q différent de 0 : f(a/q) = 1/q f(a)
et en posant a=x : f(x/q) = 1/q f(x)

8) f(px/q)= 1/q f(px) d'après 7)
de plus on sait que f(px) = pf(x)
donc f(px/q) = p/q f(x) et en posant ;) = p/q on obtient bien f(;)x) = ;)f(x) avec ;) rationnel :)

il ne te reste plus qu'à comparer ;)

[bernie]

Bonjour,


A partir de la relation f(x+y)=f(x)+f(y).

1) Montrez que f(0)=0


f(0)=f(0)+f(0) car 0=0+0

qui donne f(0)=f(0)-f(0)=0


2) Montrez que f(2x)=2f(x) pour tout x.

f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)


3) En déduire que f(3x)=3f(x)

f(3x)=f(2x+x)=f(2x)+f(x)=2f(x)+f(x)=3f(x)


4) En déduire que si on a f(nx)=nf(x), alors f((n+1)x)=(n+1)f(x)

f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)


Conclusion1: On vient de montrez que f(;)x)=;)f(x) pour tous ;) entier positif. Montrons maintenant qu'elle reste vraie pour les négatifs.

5) En posant a=x+y et b=y, montrez que f(a-b)=f(a)-f(b) pour tous a etb.

donc x=a-y donc x=a-b car y=b

f(x+y)=f(x)+f(y) donne :

f(a-b+b)=f(a-b)+f(b)

soit f(a)=f(a-b)+f(b)

soit f(a-b)=f(a)-f(b)


Je n'ai pas le temps pour la suite.

Désolé.

Bon courage.

[Andrea]

Merci d'avoir pris le temps de regarder^^ ca fait plaisir.