Applications de dérivé

[pbongrand]

Bonjour a tous je suis nouveau et j'aurais besoin de votre aide sur mon dm de maths merci d'avance

Énoncé:

C est la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1. On appelle f la fonction définie sur R par f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d , a, b, c, d étant quatre constantes réelles que l'on déterminera en utilisant les conditions suivantes :
- C passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -6 ;
- la dérivée de f s'annule pour les valeurs -1 et 3.

Déterminer la fonction f.


On pourra admettre pour la suite que l'on a f(x) = 2/3 x^3 - 2x^2 - 6x

2. Donner une équation de la tangente T à C en 0. Préciser la position de C par rapport à T.

3. Etudier les variations de f.

4. Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x. En déduire l'étude des variations de la fonction g définie sur R par g(x) = x^4 - 2x^3 - 18x^2

On ne calculera pas la valeur des extremums.

Je ne comprends absolument pas la première question, et ce qu'il faut faire.... le reste me semble clair mais la première question m'embrouille totalement..
merci d'avance de m'éclairer sur cet exercice

[johnjohnjohn]

4 inconnues a,b,c,d. 4 informations données pour établir 4 équations. A toi de jouer

[johnjohnjohn]

C passe par 0 si et seulement si f(0)=0

ssi

......


Une première équation.

[pbongrand]

oui j'ai compris, on a donc:
f(0)=0
f'(0)=-6
f'(-1)=0
f'(3)=0

a l'aide de la dérivée: f'(x)=3ax^2+2bx+c on a :

f(0)=0=d
f'(0)=-6=c
f'(-1)=0=3a-2b+c
f'(3)=0=27a+6b+c

[pbongrand]

est ce que la méthode de substitution est ici la plus rapide?

[siger]

Bonjour,

il suffit de trzaduire en equations les conditions données pour obtenir des equations determinant a, b, c et d

f(x) = ax³+bx² +cx + d
d'ou f'(x) = 3x² + 2bx + c
1- C passe par O , donc f(0) = 0, d'ou ...
2- tangente en O , coefficient directeur -6 d'ou f'(0) = -6
3-f'-1) =0
4-f'(x3) = 0
ce qui donne 4 equations pour determiner quatre variables a,b,c et d

L'equation de la tangente en M a une courbe f(x) est donnée par
y= f'(xM) *(x - xM) + yM
....

4- g'(x) = 6*f(x) si g(x) = x^4 -4x^3-18x² (erreur d'ecriture ?)

[siger]

est ce que la méthode de substitution est ici la plus rapide?

retanche la 3eme equation de la quatrieme pour eliminer c et ontenir b en fonction de a

[pbongrand]

mais je ne connais pas la formule que tu exploites...

a ma manière ça va être beaucoup plus long ?

[pbongrand]

on utilise la méthode de substitution:

f(0)=0=d
f'(0)=-6=c
f'(-1)=0=3a-2b+c
f'(3)=0=27a+6b+c

soit
c=-6
2b=3a+c
0=27a+6b+c
-->
c=-6
2b=3a+c
0=27a+1,5a-9

ensuite pour trouver a on fait:

9/28,5=28,5a/28,5
on trouve que a= 0,3158

[siger]

Re

1- si tu regardes la suite de l'exercice tu pourrais "intuiter" que a = 2/3 !
2- je ne vois pas comment tu as obtenu 0=27a+1,5a-9 .....

2b = 3a + c
27a + 6b + c = 0
d'ou 27a+9a+3c +c = 36a+4c = 0 d'ou a = -4c/36 = 2/3

[Robic]

a l'aide de la dérivée: f'(x)=3ax^2+2bx+c on a :
f(0)=0=d
f'(0)=-6=c
f'(-1)=0=3a-2b+c
f'(3)=0=27a+6b+c

Oui, mais n'hésite pas à remplacer c par -6 dans les deux dernières équations, ce qui va donner :
3a - 2b - 6 = 0
27a + 6b - 6 = 0.

2b=3a+c

J'aurais dit : 2b = 3a - 6.

0=27a+1,5a-9

Erreur : tu as remplacé 6b par (3a - 6)/2 c'est-à-dire par b (et non 6b) ! Reprends à partir de là...

[pbongrand]

ah oui j'ai voulu diviser par 2 le: 3a+c mais ce n'est pas la peine car on a 6 b

[pbongrand]

je l'ai compris au meme moment que toi robic

[pbongrand]

mon raisonnement était le suivant:
d'accord j'écris les calculs

on part de ca

f(0)=0=d
f'(0)=-6=c
f'(-1)=0=3a-2b+c
f'(3)=0=27a+6b+c

soit
c=-6
2b=3a-6
0=27a+6b-6

on a trouve donc pour la troisième équation:

0=27a+6((3a+c)/2) -c
0=27a+18a/12 +6c/12 -c
0=27a+3/2a +1/2 c -c
0=54/2a+3/2a -1/2 c
0=57/2a - 3
57/2a=3
a= 3/(57/2)

[pbongrand]

je calcule b:

2b= 3a+c a=2/3
2b= -4
b= -2

[pbongrand]

pour la question 2 je donne seulement l'équation de la droite f ?

[pbongrand]

c'est normal si je trouve 0 comme équation?

[pbongrand]

j'utilise la formule:
y= f'(a)(x-a) + f(a)

f'(x)= x^2 -4x-6
f'(0)=0-0-6=-6
f(0)= 2/3 x 0 - 2 x 0 - 6 x 0 = 0

on a donc -6x-0-0=-6x

l'equation de la tangente est donc: -6x

est-ce correct?

[Robic]

HORREUR !!!! STOP !!!!

0=27a+6((3a+c)/2) -c
0=27a+18a/12 +6c/12 -c

Tu viens de dire que 6*(3/2) = (6*3) / (6*2) (=18/12) et 6(c/2) = (6c) / (6*2) !!!!

C'est sûrement un instant de distraction, mais aïe aïe aïe... :dingue2:

1) Important :
Quand tu dois multiplier des fractions, commence par simplifier et ensuite multiplie. Pas le contraire.

Exemple :
(12/7) x (49/21) = 588 / 147 --> stupide !
(12/7) x (49/21) = (4/1) x (7/7) = 4 --> bien ! (on a simplifié 12 et 21 en divisant par 3, et 49 et 7 en divisant par 7).

Ici :
6 x (3/2) = 18/2 --> stupide !
6 x (3/2) = 3 x (3/1) --> bien ! (on a simplifié 6 et 2 en divisant par 2).

2) Astuce :
Tu as déterminé que 2b = 3a - 6. Pourquoi as-tu calculé b ? C'est compliqué : b = (3a-6)/2, ça donne du (3/2)*a, la barbe ! En fait on s'en moque de b : on doit remplacer 6b. Donc il ne faut pas calculer b mais 6b. Or 6b, c'est le triple de 2b = 3a - 6, donc ça vaut 9a - 18.

D'où :
27a + 6b - 6 = 0 27a + (9a - 18) - 6 = 0.
Pas besoin de s'embêter avec des fractions !

l'equation de la tangente est donc: -6x

Ce n'est pas une équation. Il faut écrire y=-6x.

[pbongrand]

oui je sais ^^ c'est ce que j'ai expliqué précédemment