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par **pianozik** » 27 Juin 2005, 13:04

Svp, est-ce qu'il y a quelqu'un pouvant trouver une application bijective (ou fonction) de R vers N liant tout x de R par f(x) de N ?
C'est à dire, quelque soit x de R, f(x) appartient à N.

par **leibniz** » 27 Juin 2005, 13:09

Salut,
Si tu veux qu'elle soit bijective c'est impossible car si on a suppose qu'elle existe donc IR et IN seront equipotents et or IN est dénombrable IR va etre denombrable aussi d'ou une contradiction.
a+

par **pianozik** » 27 Juin 2005, 13:45

si tu le dis, mais stp, est-ce que tu connais la partie décimale, moi je l'ignore, même si j'ai cherché des cours sur le net, j'ai rien trouvé. à ce qui concerne l'application, elle doit existe. ;)

par **khivapia** » 27 Juin 2005, 14:03

Il existe plein de fonctions de R dans N, mais aucune n'est bijective, vu que par construction R n'est pas dénombrable.

Par exemple, une fonction intéressante et qui a un lien avec la partie décimale, c'est la fonction partie entière E : à x elle associe le plus grand entier inférieur ou égal à x. Par exemple E(5,4) = 5, E(-4,5) = -5, E(pi) = 3 etc.

Alors la partie décimale d'un réel x est par définition x-E(x), sur les exemples précédents la partie décimale de 5,4 est 0,4, celle de -4,5 est 0,5, celle de pi est 0,14159...... etc.

par **pianozik** » 28 Juin 2005, 02:22

Moi j'ai remarqué que l'application suivante de IR vers IN ou Z définie par, chaque x de IR on l'associe avec x-]x[ tel que cette expression "]x[" représente la partie décimale d'un réel. donc on a si x est un entier, alors f(x) m'est aussi. Si x est un réel, alors x-]x[ est un entier aussi.

par **khivapia** » 28 Juin 2005, 08:09

mais cette application n'est pas bijective ! c'est la partie entière.

par exmple 1/2 et 1/3 ont la même image.

par **pianozik** » 28 Juin 2005, 14:27

oui, t'as raison, j'avais pas fait attention aux antécédants, mais est-ce que quelqu'un a une idée pour trouver cete bijection ? :D

par **thomasg** » 28 Juin 2005, 14:47

Bonjour,
Il est un théorème qui dit que: si deux ensembles sont en bijection alors ils sont équipotents (même cardinal)

Or R et N ne sont pas équipotents, donc une telle bijection n'existe pas.

Remarque: on t'avait déjà répondu dans ce sens.

Au revoir.

par **quinto** » 28 Juin 2005, 16:28

Bonjour,
pourquoi veux tu qu'une telle bijection existe (on t'a dit 3 fois que c'était faux)?
As tu lu quelque chose dans ce sens?

par **pianozik** » 28 Juin 2005, 17:43

J'ai tout lu, j'ai compris vos réponses, je savais même la théorème que vous m'aviez dit, parce que je l'ai étudié, mais comme avant on pensait pas à la présence d'une ensemble complexe, donc, peut être cette bijection existe. De toute façon ça reste une hypothèse pour moi

par **quinto** » 28 Juin 2005, 21:24

Ouais..
T'as envie de perdre ton temps je pense parce que c'est impossible, mais amuse toi bien quand même.
A+

par **pianozik** » 29 Juin 2005, 13:58

Merci, mais je vais pas le perdre car j'arrête d'y penser, merci :)

par **quinto** » 29 Juin 2005, 15:25

Tu fais bien, car c'est impossible.
A+

par **khivapia** » 29 Juin 2005, 17:36

En effet, c'est impossible, on peut démontrer facilement que R et N ne sont pas en bijection.

Ce dont tu dois sans doutes vouloir parler, pianozik, c'est ce qu'on appelle l'hypothèse du continu (qui est elle-même indémontrable) : à savoir qu'il n'existe pas d'ensemble E et tel qu'il existe une application injective de l'ensemble des parties de N dans E et une application injective de E dans R.

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