Application strictement croissante

[Nightmare]

Hello,

question un peu troublante pour les lycéens :

Trouver une application strictement croissante et non injective

J'en dis pas plus volontairement, je veux juste voir quel type de réponse je vais obtenir...

[Finrod]

SI l'espace de départ n'est pas totalement ordonné, c'est possible.

[Anonyme]

La fonction f : N --> N qui à n associe n-1 si n est impair et n et si n est pair ?

[Anonyme]

Trouver une application strictement croissante et non injective .

Sans cette condition la question est triviale.

[Anonyme]

Elle n'est pas strictement croissante ?

[Nightmare]

SI l'espace de départ n'est pas totalement ordonné, c'est possible.

Oui. Sans trop utiliser de mots savants pour les lycéens, j'attends surtout un exemple :happy3:

[Anonyme]

Pourquoi mon exemple n'est pas bon Nightmare ? Ne répondez pas les autres.

[Nightmare]

La fonction f : N --> N qui à n associe n-1 si n est impair et n et si n est pair ?

donc f a peu de chance d'être strictement croissante !

[Anonyme]

Ok. Tu pourrais donner une indication stp ? C'est quoi un espace totalement ordonné ?

[beagle]

c'est terrible de lire l'inverse de la consigne,
désolé pour le dérangement.

[benekire2]

f(n)=n de N dans R, 0.5 n'est pas surjecté ,

[Anonyme]

Hello,

question un peu troublante pour les lycéens :

C'est le moins qu'on puisse dire !

J’étais en train de rédiger une démonstration qui montrerait qu'une telle application n'existe pas et c'est alors qu'une idée me vint a l'esprit.

Si l'on considère l'ensemble de départ E = { N , {0} ,{0,1},{0,1,2}}

et que l'on definit l'application g comme suit:

g(x)=x si x est un entier.
g(x)= card(x) si x est un ensemble.

g(x) est croissante car si deux élément de E peuvent être comparée et qu'on ai e1<e2 on a g(e1) < g(e2).
(Si je ne m'abuse on dis qu'un ensemble A est (strictement) plus petit qu'un autre B si A est (strictement) inclus dans B)

De plus g(x) non injective car : g(1)=g({0}) , g(2)= g({0,1}) ... un exemple suffit.

C'est bon

[IOcelotI]

Hmm voyons voir...
Sois f:E->F (E et F des parties de R) tel que f soit strictement croissante et non injective.
Conséquence de la non injectivité : Il existe (x1,x2) dans E^2 tel que x1 != x2 et f(x1)=f(x2).
Conséquence partielle de la croissance stricte : Pour tout (x1,x2) de E², x1!=x2 -> f(x1)!=f(x2).
Ces deux affirmations se contredisent...


La seule solution : E et F ne sont pas inclus dans R, mais ça devient un peu litigieux de parler de relation d'ordre après...

[Anonyme]

Est ce qu'on peut pas travailler avec l'ensemble des parties finies d'un ensemble donné ?
Par exemple :
Je crois que si on travaille avec l'inclusion, on peut parler de relation d'ordre non ?
Après, trouver le moyen de faire une fonction injective strictement croissante...
Qu'en pensez vous ?

[Nightmare]

Comme l'a signalé Finrod, tout le problème réside sur l'ordre dont on dispose sur l'ensemble de départ. Si l'ordre est total, c'est à dire si deux éléments sont tout le temps comparable (c'est le cas de l'ordre usuel sur ), une application strictement croissante est toujours injective (évident).

Il faut donc chercher des ensembles et les munir d'un ordre de sorte que deux éléments ne soient pas forcément comparable (on parle d'ordre partiel). Par exemple, et plusieurs d'entre vous ont eu cette bonne idée, si l'on travaille sur des ensembles, la relation d'inclusion est une relation d'ordre qui est partielle : {1} n'est pas inclus dans {0} et {0} n'est pas inclus dans {1}.

Avec ceci, vous devriez construire une bonne application qui répond au problème.

[Nightmare]

Qmaths > Quel est l'ensemble de départ et d'arrivée de ta fonction? C'est assez flou à la vue de ton ensemble E...

[Anonyme]

(Pour une fois que j'ai une bonne idée ! :zen: )

Si on travaille avec les plus petits/plus grands éléments, ça peut fonctionner?

[beagle]

ordre partiel , mouais ...
et si pas d'ordre du tout,
c'est une fonction croissante et décroissante?

[Anonyme]

Qmaths > Quel est l'ensemble de départ et d'arrivée de ta fonction? C'est assez flou à la vue de ton ensemble E...

Mon ensemble de départ est composée des entiers naturels et de quelques ensembles {0},{0,1},{0,1,2}.
E={0,1,2,3,4,5,...,n-1,n,n+1, ... , {0},{0,1},{0,1,2}}

Les trois derniers éléments je les ai inclus dans le domaine de définition juste pour que la fonction soit surjective. Bien entendu je pouvais me limiter a {0}.

L'ensemble d'arriver est N puisque c'est N U { g({0}) , g({0,1}), g({0,1,2}) ) qui n'est autre que N.

C'est clair ?

J'ai voulu mélanger ensemble et entiers dans le domaine de définition mais bon il est vrai qu'on pouvais se tirer d'affaire seulement avec des ensembles.

[IOcelotI]

Hmm c'est cheaté si la relation n'est que partiel... Prenons le cas de le relation d'ordre "est inclus dans"
Si on considère l'application f qui à un ensemble associe son plus grand élément.
f({0,2}) = 2 et f({1,2}) = 2
On a bien la non-injectivité, les deux ensembles étant différents.
De plus l'implication A C B -> f(A) > f(B) est toujours vérifié car A n'est jamais inclus dans B dans le cas de ces deux ensembles...