Application logarithme en économie je bug =S

[Lau(L)]

EXERCICE 1 : (10 points)

Une entreprise fabrique des pièces qu'elle conditionne par centaines. Sa fabrication journalière varie entre 100 pièces et 650 pièces. On suppose que le bénéfice, exprimé en milliers de francs en fonction de la quantité q de pièces fabriquées, est donné par :

f(q) = - 2 q² + 20 q - 18 - 16 ln q ,
avec q exprimée en centaines : 1 £ q £ 6,5.

A - Etude économique.

1° Calculer, en francs, le bénéfice réalisé pour une production journalière de 100 pièces, puis de 500 pièces.

2° Calculer, en francs, le bénéfice correspondant à la fabrication de la 201 ième pièce.

3° On fabrique 400 pièces. Calculer, en francs, le bénéfice moyen réalisé par pièce fabriquée.


B - Etude théorique.

Soit f la fonction définie pour tout x réel de l'intervalle [1 ; 6,5] par :

f(x) = - 2 x² + 20 x - 18 - 16 ln x.

1° a) Calculer la dérivée f ' de f. :--:

b) Montrer que l'équation f '(x) = 0 admet deux solutions x1 et x2 (où x1 < x2) que l'on déterminera. :--:

c) Montrer que f '(x) est du signe de - 4 (x - 1) (x - 4). :--:

d) Dresser le tableau de variation de f sur [1 ; 6,5]. :--:


2° a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution a distincte de 1 et une seule, dans l'intervalle [1 ; 6,5]. :--:

b) Prouver que 6,19 £ a £ 6,20.


3° a) Recopier et compléter le tableau suivant.
Les valeurs de f(x) seront arrondies à 10 - 1 près.

x
1
2
3
4
5
6
6,5

f(x)


b) Tracer dans un repère orthogonal la courbe représentative de la fonction f sur [1 ; 6,5].

Unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.


C - Retour à l'étude économique.

1° a) Déterminer en unités (centaines de pièces) la quantité maximale de pièces à fabriquer pour qu'il y ait un bénéfice.

b) Déterminer en unités la quantité de pièces à fabriquer afin d'obtenir le bénéfice maximal. Calculer en francs ce bénéfice.

c) Faire apparaître sur le graphique les résultats précédents.



C'est un casse tête dès le départ (recherche de la dérivée? puis tableau de signe de la dérivée?) comment faire s'il vous plait, je sèche complètement. :marteau:
Merci d'avance je serais ravie de pouvoir vous aidez à mon tour. :we:

[Noemi]

f(x) = - 2 x² + 20 x - 18 - 16 ln x.
la dérivée : f'(x) = -4x + 20 -16/x

[Lau(L)]

Oui je sais mais le tableau de variation je n'arrive pas à le faire =S

[Noemi]

f'(x) = -4x + 20 -16/x
= (-4x^2+20x-16)/x = -4(x^2-5x+4)/x
= -4(x-1)(x-4)/x

Pour x compris entre 1 et 4, f'(x)>0, donc fonction croissante.
Si x compris entre 4 et 6,5, f'(x) < 0, donc fonction décroissante.