Application de Fermat basique.

[albukerk]

Bonjour à tous ! Voilà Je vous explique un peu le contexte. Je suis en Terminale S spé maths, et j'ai toujours été plutôt brillant ne mathématiques. (19/20 de moy) Ce qui fait que je ne note pas toujours les corrections ! (Oui, je sais, c'est mal). Et d'ailleurs je le regrette bien.

En fait, il y a un exercice de spé sur une application basique de Fermat sur lequel j'ai trouvé une réponse, mais je me demande si je ne dois pas faire une réciproque ou si il n'y a pas un moyen plus rapide.


Enoncé : Déterminer tous les nombres premiers n tels que :

n|2^n +1

Bon, ce que je fais, c'est que je met tout sur la forme modulo, et j'applique la corollaire de Fermat, et j'obtiens en passant à une équation normale le systême :

2^n -2 = nk
2^n +1 = nk'

Ce qui donne, par différence, 3 = n(k'-k). D'où n|3 et donc n = 3 , car n premier.


Donc, là, j'ai la solution, mais ne dois-je pas faire une réciproque? Car je pense que le passage de 3 = n(k'-k) à n|4 n'est qu'une implication, et non une équivalence?

Et sinon, n'y a t-il pas plus court?

Mon partiel est demain, si je n'ai pas de réponses avant deux heures (cybercafé), cela ne servirait à rien de me répondre, et tant pis, demain je ferais cette méthode et une réciproque si ça tombe.

Mais j'aimerais bien qu'on m'éclairrcisse à ce sujet. :)


Merci d'avance !

Cordialement, albukerk.

[albukerk]

Personne ? :langue2:

[ft73]

=>

2^n congru à 2 mod n, donc 2^n+1 est congru à 3 mod n.
3 n'est congru à 0 mod n que si n|3 ie n=3 en effet.

<=

3|2^3+1=9 donc ok.