[Entraînement] Application des sommes aux inégalités

[Timothé Lefebvre]

Bonsoir bonsoir

Voici quatre petits exercices que je vous propose dans le but d'appliquer les règles de bases du calcul avec des sommes (voir le lien du cours ci-dessous) et quelques raisonnements sympathiques.
Je tiens à préciser que les énoncés suivants ne sont pas issus d'Olympiades Internationales (pour changer !), ce qui ne veut pas dire qu'ils sont inintéressants !

Énoncé 1 :

Soient un entier et , , ..., des réels strictement positifs.
Démontrer la relation suivante :



Énoncé 2 :

Pour tout n entier strictement positif, on appelle le minimum de la somme suivante :



, , ..., sont des réels strictement positifs, et leur somme vaut 17.
Il existe un seul entier n pour lequel est aussi un entier, déterminez-le.

Énoncé 3 :

, , ..., sont des réels strictement positifs. On pose et
Montrer que :



Énoncé 4 :

Montrer que pour tous réels x, y et z strictement positifs on a :



Bonne soirée tout le monde

PS @ Micka : je n'oublie pas ton MP, je te réponds tout à l'heure.

Tim

[benekire2]

Ne t'en fais pas je sais que tu allais y répondre un jour^^

Oula alors c'est un sacré tartine, que je vais pas faire tout de suite, je vais d'abord chercher a bien comprendre le raisonnement sur l'OIM de la dernière fois.

[Timothé Lefebvre]

Des intéressés / volontaires / bénévoles ?!
Allez les motivés en maths, au boulot :lol2:

[Zweig]

Salut,

1)

C'est pas bien compliqué par récurrence

2)

On pose . On vérifie pour tout réel . Ainsi f est convexe sur . On a donc d'après l'inégalité de Jensen :



, d'après l'inégalité de Jensen


qui est le minimum recherché, atteint lorsque

On montre, en résolvant l'équation dans , que seule convient.

4) On pose , ,

Lemme : On a les inégalités suivantes :

(1)

(2)

(3)

Démo : En effet :

d'après l'inégalité de Schur

d'après l'inégalité de Schur



On pose S = membre gauche - membre droite

On a donc :

Ou encore,



Finalement,

d'après notre lemme

[Timothé Lefebvre]

Salut :lol2:

Eh bien merci de m'avoir laissé l'exo 3
Très bien pour le reste, of course !

Pour ma part, j'ai traité le 3 en posant une permutation des puis en utilisant l'inégalité du réordonnement.

[Timothé Lefebvre]

Énoncé 3 :

, , ..., sont des réels strictement positifs. On pose et
Montrer que :

Posons , , ..., une permutation de , , ..., où .

En appliquant l'inégalité du réordonnement on a :



Cela revient à montrer que :



Or on a :



Et donc :



La conclusion sur les cas où l'égalité est respectée découle.