Application des dérivées

[nikox6]

Bonjour, j'ai 2 problèmes à résoudre sur les dérivées.

1) La résistance d'une poutre de section rectangulaire est directement proportionnelle à sa largeur et au carré de sa hauteur. Quelles sont les dimensions de la poutre de résistance maximum que l'on peut extraire d'un tronc de bois dont le diamètre est 20 cm ?

2) On veut fabriquer une boîte rectangulaire à base carrée, sans couvercle. Quel est le volume de la plus grande boîte que l'on puisse obtenir avec 10 m² de planches ?

Voilà les deux énoncés. Quelqu'un sait m'aider? Je ne vois pas comment commencer...

[Carpate]

Bonjour, j'ai 2 problèmes à résoudre sur les dérivées.

1) La résistance d'une poutre de section rectangulaire est directement proportionnelle à sa largeur et au carré de sa hauteur. Quelles sont les dimensions de la poutre de résistance maximum que l'on peut extraire d'un tronc de bois dont le diamètre est 20 cm ?

2) On veut fabriquer une boîte rectangulaire à base carrée, sans couvercle. Quel est le volume de la plus grande boîte que l'on puisse obtenir avec 10 m² de planches ?

Voilà les deux énoncés. Quelqu'un sait m'aider? Je ne vois pas comment commencer...

1) Soient h et l les dimensions de la poutre recherchées
Ecris que

la résistance d'une poutre de section rectangulaire est directement proportionnelle

à et à
Le diamètre du tronc égal à la diagonale de la section rectangulaire de la poutre

[nikox6]

1) Soient h et l les dimensions de la poutre recherchées
Ecris que à et à
Le diamètre du tronc égal à la diagonale de la section rectangulaire de la poutre

Je n'ai pas compris la phrase :"Le diamètre du tronc égal à la diagonale de la section rectangulaire de la poutre" ?

[nikox6]

Je n'ai pas compris la phrase :"Le diamètre du tronc égal à la diagonale de la section rectangulaire de la poutre" ?

Quelqu'un pour m'aider?

[Ben314]

Salut,
Dans ton cercle de diamètre 20cm (représentant une coupe du tronc), tu doit tracer un rectangle (représentant une coupe de la poutre).
Si tu as deux sous de bon sens, tu te dit que le rectangle doit être le "plus grand possible", sans trop bien savoir ce que veut dire "grand" pour le moment, mais il n'empêche que c'est clairement très con de ne pas prendre les 2 sommets du rectangle sur le cercle vu que dans ce cas là, on pourrait augmenter une des dimension de la poutre sans changer l'autre.
Conclusion : les 4 sommets de ton rectangles "maxi" sont forcément sur le cercle et, ce que te disait Carpate
, c'est que, dans ce cas là, les diagonales de ton rectangle sont en fait des diamètres du cercle (dont le diamètre est connu).
Ca te fait une relation obligatoire concernant les deux dimension L et H de la poutre et, avec cette contrainte là, on te demande le maximum de maximiser la "résistance" qui est kLH² (où k est une constante qu'on ne connait pas mais dont au fond on a rien à f... pour résoudre le problème)

[nikox6]

Salut,
Dans ton cercle de diamètre 20cm (représentant une coupe du tronc), tu doit tracer un rectangle (représentant une coupe de la poutre).
Si tu as deux sous de bon sens, tu te dit que le rectangle doit être le "plus grand possible", sans trop bien savoir ce que veut dire "grand" pour le moment, mais il n'empêche que c'est clairement très con de ne pas prendre les 2 sommets du rectangle sur le cercle vu que dans ce cas là, on pourrait augmenter une des dimension de la poutre sans changer l'autre.
Conclusion : les 4 sommets de ton rectangles "maxi" sont forcément sur le cercle et, ce que te disait Carpate
, c'est que, dans ce cas là, les diagonales de ton rectangle sont en fait des diamètres du cercle (dont le diamètre est connu).
Ca te fait une relation obligatoire concernant les deux dimension L et H de la poutre et, avec cette contrainte là, on te demande le maximum de maximiser la "résistance" qui est kLH² (où k est une constante qu'on ne connait pas mais dont au fond on a rien à f... pour résoudre le problème)

Ok, donc les 4 sommets sont dans le cercle. Le rectangle (la base de la poutre) a donc un diamètre de 20 cm. Mais après je bloque toujours... Comment maximiser si on ne connait pas la hauteur maximale? Peut-on estimer que ce rectangle soit un carré?

[nikox6]

Ok, donc les 4 sommets sont dans le cercle. Le rectangle (la base de la poutre) a donc un diamètre de 20 cm. Mais après je bloque toujours... Comment maximiser si on ne connait pas la hauteur maximale? Peut-on estimer que ce rectangle soit un carré?

diagonale* (et non diamètre)

[Ben314]

Tu doit maximiser kLH² qui dépend de DEUX variables L et H (k on s'en fout, il bouge pas) et ça, tu sait pas faire vu qu'au programme du Lycée, il y a que des fonctions d'UNE SEULE variables.
MAIS, tes deux variables, tu n'a pas le droit de les prendre "au pif" : elle doivent vérifier une certaine relation (laquelle ?)

Donc, avec un peu de bon sens, on peut se dire qu'il faut utiliser cette fameuse relation pour exprimer une des deux variables en fonction de l'autre de façon à ce que kLH² ne dépende plus que d'UNE SEULE variable donc rentre dans le cadre de ce que tu sait faire.