Application de dérivation

[binbin]

Bonjour a tous

Je m’entraine pour mon control portant sur les applications de dérivations, j’ai récupéré un sujet portant sur ce thème seulement je n’y comprend rien j’aurais besoin de l’aide de tous pour répondre a ces nombreuses questions qui sont d’après mon professeur ce sur quoi le sujet va tomber. J’espere mieux comprendre grace a vous.
Voici le sujet :
Le toboggan

On veut réaliser un toboggan pour les enfants ,qui se termine en pente douce.
Il doit donc vérifier les conditions suivantes.
(1)il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
(2)il doit être tangent au sol au point B.
Dans tout problème ,on considère le plan rapporté au repère orthonormal (O ;i ;j ) (unité graphique 2.5 cm )comme l’indique le croquis suivant :


(ce croquis ne respecte pas l’échelle choisie)


Les coordonnées du point A sont donc (0 ;2),celles du point B sont (4 ;0).
Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l’allure du toboggan et vérifie les conditions de l’énoncé


Questionnaire :
1)une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir ?expliquer pourquoi.

2)a)f est la fonction définie sur [0 ;4] par :

f(x)=-1/4x²+2 et Cf est sa courbe représentative dans ( O ,i ,j )

étudier les variations de g et dresser son tableau de variation

b)g est la fonction définie sur [0 ;4] par :

g(x)=1/4x²-2x+4 et Cg est sa courbe représentative dans (O ; i ;j)
étudier les variations de g et dresser le son tableau de variation

c)démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C de coordonnées (2 ;1).

d)démontrer ensuite que Cf et Cg ont la meme tangente T au point C

e) Tracer T, puis Cf et Cg sur un même graphique.
Ensuite tracer d’une couleur différentes, les deux portions des courbes Cf et Cg représentant le toboggan.

f)Vérifier que la courbe obtenue satisfait aux conditions (1) et (2)

3)On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O ;i ;J) d’une fonction polynome P de degrés 3.
P(x)=axcube+bx²+cx+d
a)trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A
b)Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu’elle passe par B,trouver les valeurs de a,b et c.
c)h est la fonction définie sur[0 ;4] par :
H(x)=1/16xcube-3/8x²+2
Etudier les variations de h et donner son tableau de varation
d)Sur un nouveau graphique ,tracer la courbe Ch représentant h (O ;i ;j).

4)Observer les graphiques, puis calculer la pente maximal (c’est a dire le maximum de |f’(x)|) du toboggan dans chacun des deux cas étudiés et conclure sur le cas le plus favorable.



Voici ce très long questionnaire, j’espere des explications nombreuse.
Merci de votre attention pour ma cause et bye.

[fonfon]

Salut,

je t'aide pour le debut
cer c'est vrai que c'est un peu long

Questionnaire :
1)une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir ?expliquer pourquoi.

2)a)f est la fonction définie sur [0 ;4] par :

f(x)=-1/4x²+2 et Cf est sa courbe représentative dans ( O ,i ,j )

étudier les variations de g et dresser son tableau de variation

b)g est la fonction définie sur [0 ;4] par :

g(x)=1/4x²-2x+4 et Cg est sa courbe représentative dans (O ; i ;j)
étudier les variations de g et dresser le son tableau de variation

c)démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C de coordonnées (2 ;1).

d)démontrer ensuite que Cf et Cg ont la meme tangente T au point C

e) Tracer T, puis Cf et Cg sur un même graphique.
Ensuite tracer d’une couleur différentes, les deux portions des courbes Cf et Cg représentant le toboggan.

f)Vérifier que la courbe obtenue satisfait aux conditions (1) et (2)

1)une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir ?expliquer pourquoi.

une fontion polynôme du 1er degré est de la forme f(x)=ax+b donc c'est l'equation d'une droite à ton avis est-ce que ça va marcher?

2)a)f est la fonction définie sur [0 ;4] par :

f(x)=-1/4x²+2 et Cf est sa courbe représentative dans ( O ,i ,j )

étudier les variations de g et dresser son tableau de variation

pour tout x ds [0;4],

de plus on a f(0)=2 et f(4)=-2

d'où le tableau

b)g est la fonction définie sur [0 ;4] par :

g(x)=1/4x²-2x+4 et Cg est sa courbe représentative dans (O ; i ;j)
étudier les variations de g et dresser le son tableau de variation

pour tout x ds [0,4],
avec g(0)=4 et g(4)=0

d'où le tableau

c)démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C de coordonnées (2 ;1).

il suffit de resoudre f(x)=g(x) tu va obtenir la valeur de x ensuite pout avoir la valeur de y tu remplaces x soit dans f(x) ou g(x) au choix

d)démontrer ensuite que Cf et Cg ont la meme tangente T au point C

equation de la tangente à h au point d'abscisse xo est y=h'(xo)(x-xo)+h(xo)

donc ici à la place de la fonction h tu regardes avec la foncton f puis h il faut trouver la même equation

e) Tracer T, puis Cf et Cg sur un même graphique.
Ensuite tracer d’une couleur différentes, les deux portions des courbes Cf et Cg représentant le toboggan.

à toi de faire

f)Vérifier que la courbe obtenue satisfait aux conditions (1) et (2)

il faut que tu verifie que ce que tu as obtenu verifie

(1)il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
(2)il doit être tangent au sol au point B.

j'ai verifié ça colle

essaie de poursuivre car en fin de compte c'est toi qui passe le contrôle et non moi... :++:

[fonfon]

re,

il manque une information

3)On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O ;i ;J) d’une fonction polynome P de degrés 3.
P(x)=axcube+bx²+cx+d
a)trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A
b)Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu’elle passe par ,trouver les valeurs de a,b et c.

elle passe par? (je pense que c'est ...)

[binbin]

merci fonfon pour le début ,je viens de comprendre je crois que tu va peut etre lancer certaine personne a poursuivre et je vais ajouter l'info manquante
merci encore :we: Elle passe par B.
Je vais moi meme essayer de continuer

[fonfon]

re,

3)On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O ;i ;J) d’une fonction polynome P de degrés 3.
P(x)=axcube+bx²+cx+d
a)trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A
b)Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu’elle passe par B,trouver les valeurs de a,b et c.

une piste

on te dit que la courbe passe par A donc les coordonnées de A verifie l'equation de P soit ....

conditions (1)il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
donc 2 droites sont parallele ssi elles ont même coefficient directeur or :
equation du sol est y=0 donc le coefficient directeur vaut ...
l'equation de la tangente au point d'abscisse A a pour coefficient directeur P'(xA) donc il faut que P'(xA)=...

conditions (2)il doit être tangent au sol au point B.
idem equation du sol est y=0 donc le coefficient directeur vaut ...
l'equation de la tangente au point d'abscisse xB a pour coefficient directeur P'(xB) donc il faut qe P'(xB)=...


en plus P(x) passe par le point B donc les coordonnées de B verifie l'equation de P soit ...

toutes ces conditions vont te donner 3 equations à 3 inconnue qui formeront un systeme qu'il te faudra resoudre

pour t'aider regarde la fonction H(x) que tu dois etudier

[binbin]

ouai sa peut etre une bonne piste je vais étudier ceci

[binbin]

En faite ces une catastrophe je n'y arrive vraiment pas :briques:

[fonfon]

re,je complete les trous

on te dit que la courbe passe par A donc les coordonnées de A verifie l'equation de P soit P(0)=2

conditions (1)il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
donc 2 droites sont parallele ssi elles ont même coefficient directeur or :
equation du sol est y=0 donc le coefficient directeur vaut 0
l'equation de la tangente au point d'abscisse A a pour coefficient directeur P'(xA) donc il faut que P'(xA)=0 P'(0)=0

conditions (2)il doit être tangent au sol au point B.
idem equation du sol est y=0 donc le coefficient directeur vaut 0
l'equation de la tangente au point d'abscisse xB a pour coefficient directeur P'(xB) donc il faut qe P'(xB)=0 P'(4)=0

en plus P(x) passe par le point B donc les coordonnées de B verifie l'equation de P soit P(4)=0

avec tous ce qui est en gras tu va obtenir un systeme qui vont te permettre de trouver a,b,c et d

et tu devrais trouver la fonction H que tu dois etudier

c)h est la fonction définie sur[0 ;4] par :
H(x)=1/16xcube-3/8x²+2

[binbin]

oui mais je vois pas du tout grace a quel formule je dois trouver a,b,c,d :soupir2:

[fonfon]

re,

oui mais je vois pas du tout grace a quel formule je dois trouver a,b,c,d

on te donne

3)On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O ;i ;J) d’une fonction polynome P de degrés 3.
P(x)=axcube+bx²+cx+d
a)trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A
b)Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu’elle passe par B,trouver les valeurs de a,b et c.

c'est avec l'expression de P(x) que tu vas trouver a,b,c et d


donc je reprend

question a)

on te dit que la courbe passe par A donc les coordonnées de A verifie l'equation de P soit P(0)=2

donc
P(0)=2





question b)

conditions (1)il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
donc 2 droites sont parallele ssi elles ont même coefficient directeur or :
equation du sol est y=0 donc le coefficient directeur vaut 0
l'equation de la tangente au point d'abscisse A a pour coefficient directeur P'(xA) donc il faut que P'(xA)=0 P'(0)=0

il faut dejà calculer P'(x) soit



donc

conditions (2)il doit être tangent au sol au point B.
idem equation du sol est y=0 donc le coefficient directeur vaut 0
l'equation de la tangente au point d'abscisse xB a pour coefficient directeur P'(xB) donc il faut qe P'(xB)=0 P'(4)=0

donc


(or c=0 )

(1)


ça te fais une premiere equation à 2 inconnues

en plus P(x) passe par le point B donc les coordonnées de B verifie l'equation de P soit P(4)=0

on reprend l'expression de P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
P(4)=0

(or c=0 et d=2)

(2)

ça te fait une 2eme equation à 2 inconnues


l ne reste plus qu'à resoudre le systeme formé par (1) et (2) soit



tu devrais trouvé a=1/16 et b=-3/8

donc a=1/16, b=-3/8 ,c=0 et d=2


donc


voilà

[binbin]

je vérifie sa de suite et vraiment merci