Application bijective

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nada-top
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application bijective

par nada-top » 03 Aoû 2006, 15:51

Hola :zen:
voilà comme vous avez remarqué au café mathématique je suis entrain de réviser le programme de première S avant le terminal...donc voilà un autre exo d'application que j'ai résolu mais je voudrais bien savoir d'autres méthode :id:
on considère l'application définie du plan par ceci :
:

; tel que est un paramètre réel .
[FONT=Comic Sans MS] déterminer les valeurs de m tel que [/FONT] [FONT=Comic Sans MS]est une aplication bijective.[/FONT]

donc voilà ma méthode :

[FONT=Comic Sans MS]est une bijection [/FONT] [FONT=Comic Sans MS]systeme ayant une solution unique [/FONT]

donc y-a-t-il d'autres méthodes ??
[FONT=Verdana]merci d'avance pour vos réponses [/FONT] :++:



Sdec25
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par Sdec25 » 03 Aoû 2006, 16:03

Salut
La solution ce serait pas plutôt ET , au lieu de OU ?

Delta c'est le déterminant ?
On peut aussi essayer d'exprimer x et y en fonction de X et Y, on ne peut le faire que si et

Nightmare
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par Nightmare » 03 Aoû 2006, 16:04

Ce n'est pas vraiment un exercice de niveau 1ére S ...

nada-top
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par nada-top » 03 Aoû 2006, 16:12

La solution ce serait pas plutôt et , au lieu de ou ?

Delta c'est le déterminant ?

oui c'est ça Sedec25 merci
Delta c'est le déterminant
bien sur Delta c'est le determinant du systeme Cramer.

Nightmare : Ce n'est pas vraiment un exercice de niveau 1ére S ...

:doh: :doh: :doh: tu peux me dire pourquoi ...c'est un exo que j'ai trouvé dans mon manuel des maths..et si je me trompe pas je suis en première :ptdr:

Nightmare
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par Nightmare » 03 Aoû 2006, 16:14

Tu es en première en France ? L'exercice est de niveau Bac+1

nada-top
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par nada-top » 03 Aoû 2006, 16:22

non je ne suis pas de France donc je crois que nous n'avons pas le meme programme... tu as donc une autre reponse nightmarre meme si Bac+1 ???..je crois pas que c'est la meme methode qu'on utilise en Bac +1 :doh:

Sdec25
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par Sdec25 » 03 Aoû 2006, 16:38

Au lycée (en France) on ne voit pas la notion de bijection, ni les déterminants.
Donc on ferait comme j'ai proposé dans mon premier post, c'est-à-dire chercher les solutions de x et y en fonction de X et Y. Si on arrive à exprimer x et y, alors on peut dire que c'est une bijection.
Avec les déterminant je ne vois pas d'autre méthode.

nada-top
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par nada-top » 04 Aoû 2006, 00:29

Donc on ferait comme j'ai proposé dans mon premier post, c'est-à-dire chercher les solutions de x et y en fonction de X et Y. Si on arrive à exprimer x et y, alors on peut dire que c'est une bijection.


mais là tu es tout simplement entrain de déterminer la la bijection réciproque et c'est l'étape qui vient aprés la démmonstration de la bijection ...et pour prouver la bijection il faut prouver ça : ... n'oublie pas que m est un paramètre réel donc il faut d'abord trouver ses valeurs qui vérifient la notion de bijection et aprés on peut déterminer la bijection réciproque tel que ...sinon j'ai pas compris ce que tu voulais dire

nada-top
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par nada-top » 04 Aoû 2006, 02:15

Posté par Sdec25
Au lycée (en France) on ne voit pas la notion de bijection, ni les déterminants.

pour la notion de bijection je crois que j'ai précisé et pour Systeme Cramer c'est une méthode qui permet de déterminer si le systeme a une solution unique , une infinité de solution ou il n'a pas de solutions...en fait j'ai cherché Systeme Cramer sur google pour poster un lien mais j'ai trouvé des difinitions un peu compliquées avec les matrices et...que j'ai pas encore vu c'est pour le terminal ...mais voilà je propose cette méthode trés simple qu'on a appris en seconde .
soient des nombres réels.

le nombre est appelé determinant du donc il y a 2 cas :
[FONT=Comic Sans MS]1er cas [/FONT] : donc le systeme admet une solution unique tels que :
et
et et

[FONT=Comic Sans MS]2ème cas [/FONT] : donc soit le systeme (S) a une infinité de solution soit il n'a pas de solutions .(ça reste à determiner selon le systeme donné par d'autres méthodes)
j'espère etre un peu claire et si j'ai fais des fautes n'hésitez pas de signaler.
alors Sdec25 si tu veux exprimer x et y en fonction de X et Y tu n'as qu'à utiliser et mais ça répond pas à la question c'est juste pour déterminer la bijection réciproque .... :++:

Clembou
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par Clembou » 04 Aoû 2006, 10:56

Sdec25 a écrit:Au lycée (en France) on ne voit pas la notion de bijection, ni les déterminants.
Donc on ferait comme j'ai proposé dans mon premier post, c'est-à-dire chercher les solutions de x et y en fonction de X et Y. Si on arrive à exprimer x et y, alors on peut dire que c'est une bijection.
Avec les déterminant je ne vois pas d'autre méthode.


Hmmmm :wrong:... Enfin, en tout cas, j'étais au lycée Beaucamps Ligny (Nord de la France) et avec mes profs de 1S et de TS, je l'ai vu vaguement en première S et en cours particulier (c'est-à-dire hors programme) en Terminale S. Mais je ne sais vraiment pas comment l'utiliser moi. En espérant qu'il y aura un bon cours l'année prochaine en L1.

nada-top a écrit:ah désolée j'ai oublié de signaler , je suis du maroc , donc je crois que nous n'avons pas le meme programme... tu as donc une autre reponse nightmarre meme si Bac+1 ???..je crois pas que c'est la meme methode qu'on utilise en Bac +1 :doh:


Ah oui voilà ! Cela explique tout ;)

nada-top
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par nada-top » 04 Aoû 2006, 11:26

bonjour :ptdr:

Hmmmm ... Enfin, en tout cas, j'étais au lycée Beaucamps Ligny (Nord de la France) et avec mes profs de 1S et de TS, je l'ai vu vaguement en première S et en cours particulier (c'est-à-dire hors programme) en Terminale S.

ouff ...enfin j'ai trouvé quelqu'un pour me soutenir , avec les réponses nombreuses que j'ai reçu !!! en dirait que je suis la seule à étudier ça :cry: je risque de parler toute seule
mais je sais pas pourquoi tu dis ça

Mais je ne sais vraiment pas comment l'utiliser moi. En espérant qu'il y aura un bon cours l'année prochaine en L1.

tu peux t'exercer à faire plein d'exos de ce genre , et tu peux meme trouver une autre méthode à ce probleme je suis sure qu'il y a plein de pistes pour aboutir au résultat en se basant seulement sur la notion : [FONT=Comic Sans MS]pour chaque élément de l'ensemble d'arrivée il y a un antécédent unique par l'application tel que [/FONT] (voilà j'ai traduit la propositon logique déjà citée)..

Sdec25
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par Sdec25 » 04 Aoû 2006, 14:30

nada-top a écrit:mais là tu es tout simplement entrain de déterminer la la bijection réciproque et c'est l'étape qui vient aprés la démmonstration de la bijection ...et pour prouver la bijection il faut prouver ça : ... n'oublie pas que m est un paramètre réel donc il faut d'abord trouver ses valeurs qui vérifient la notion de bijection et aprés on peut déterminer la bijection réciproque tel que ...sinon j'ai pas compris ce que tu voulais dire

Si on arrive à trouver l'application réciproque c'est que l'application est bijective non ?

nada-top
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par nada-top » 04 Aoû 2006, 14:52

Si on arrive à trouver l'application réciproque c'est que l'application est bijective non ?

et comment tu sera sur que ta bijection réciproque vérifie les conditions de bijection avec m paramétre réel :hein: :hein: et meme je crois qu'avec un m connu ça sera pas simple car tu dois prouver à la fin qu'il existe un antécédent unique . en général pour prouver la bijectivité on prouve l'injectivité puis la surjectivité et parfois on peut prouver directement la bijectivité mais c'est pas à mon niveau :triste: mais pour cet exo c'etait simple car on a un systeme ...en fait si tu as d'autres méthodes plus simple je serais reconnaissante :++:

Sdec25
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par Sdec25 » 04 Aoû 2006, 14:59

X=mx+y
Y=x+my
Et mon cherche x et y en fonction de X et Y. Si on y arrive c'est que l'application est bijective (enfin je crois).

X=mx+y
mY=mx+m²y

X-mY=y-m²y=y(1-m²)
Y-mX=(1-m²)x

y=(X-mY)/(1-m²)
x=(Y-mX)/(1-m²)
ssi c'est-à-dire

nada-top
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par nada-top » 04 Aoû 2006, 15:52

je crois si je me trompe pas que tu es entrain de prouver l'existence d'un tel couple (x,y) ce qui connote la notion de surjectivité mais pas forcément lunicité . :hein:

Sdec25
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par Sdec25 » 04 Aoû 2006, 16:18

J'ai montré l'existence et l'unicité en même temps.
Si pour tout (X,Y) on peut exprimer (x,y) en fonction de (X,Y) alors il existe un seul (x,y) tel que Psi(x,y) = (X,Y)

C'est la même chose que montrer que la matrice de l'AL est inversible, c'est-à-dire que le Det est non nul.
Inverser une matrice équivaut à résoudre le système d'équations correspondant, faisable uniquement si le det est non nul.

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par nada-top » 04 Aoû 2006, 16:29

J'ai montré l'existence et l'unicité en même temps.
Si pour tout (X,Y) on peut exprimer (x,y) en fonction de (X,Y) alors il existe un seul (x,y) tel que Psi(x,y) = (X,Y)

et c'est la meme chose qu'on fait pour la sujectivité mais on a pas le droit d'en déduire que c'est le seul antécédent .... donc d'aprés cela [FONT=Comic Sans MS]application surjective[/FONT] [FONT=Comic Sans MS]application bijective[/FONT] et ça c'est pas vrai.

C'est la même chose que montrer que la matrice de l'AL est inversible, c'est-à-dire que le Det est non nul.
Inverser une matrice équivaut à résoudre le système d'équations correspondant, faisable uniquement si le det est non nul.

pour ça je comprends pas trop ...j'ai pas encore vu les matrices c'est pour le terminal :hein:

Sdec25
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par Sdec25 » 04 Aoû 2006, 16:53

La bijectivité signifie que pour tout élément de l'ensemble d'arrivée (X,Y) on a un et un seul antécédent (x,y)
Donc si on arrive à exprimer (x,y) en fonction de (X,Y) l'application est bijective.

Si ce n'était pas le cas on n'aurait pas pu résoudre le système. Et je parlais des matrices car tu as calculé un déterminant.
La matrice est inversible le système a une solution unique le déterminant est non-nul

Si A est la matrice d'une AL alors
Le déterminant que tu as calculé est le déterminant de la matrice de cette AL.
Moi j'ai résolu le système donc j'ai trouvé l'inverse de la matrice A qui ne peut être obtenu que si le déterminant est non-nul.

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par nada-top » 04 Aoû 2006, 23:37

Si on arrive à trouver l'application réciproque


Si pour tout (X,Y) on peut exprimer (x,y) en fonction de (X,Y) alors il existe un seul (x,y) tel que Psi(x,y) = (X,Y)

Donc si on arrive à exprimer (x,y) en fonction de (X,Y) l'application est bijective


tu répéte boucoup ça tu peux m'expliquer qu'est ce que tu veux dire par :si on arrive à , si on peut....:hein:

Sdec25
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par Sdec25 » 05 Aoû 2006, 22:28

C'est la même chose que "s'il existe".
S'il existe une application réciproque définie pour tout (x,y) alors l'application est bijective.

 

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