Angles des médianes

[Budin]

Bonjour,
Il y a des relations simples entre les angles d'un triangle et les angles que font entre elles ses trois hauteurs, médiatrices, ou bissectrices.
Mais je n'ai pas l'impression qu'il en existe une entre les angles du triangle et les angles des trois médianes. Pourtant, il existe une telle relation, parce que si on se donne le problème bien connu, et facile à résoudre : étant données trois droites, construire un triangle dont elles sont les médianes, toutes les solutions sont non seulement semblables, mais homothétiques. J'imagine donc que la relation en question ne doit pas être "rationnelle", mais passer par les fonctions trigonométriques.
Quelqu'un d'entre vous a-t-il une opinion ?
Merci d'avance,
JP

[Budin]

Bonjour,
Ma question n'a amusé personne ce qui m'oblige à y répondre moi-même...
Comme cette question est indépendante de l'échelle, je pose, dans un repère O.N.
A: (0 ; 0), B : (2 ; 0) et C' : (1 ; 0).
La droite (AC) a pour équation y = x tan(A) et la droite (BC) y = - x tan (C) compte tenu de l'orientation. Ceci permet de calculer les coordonnées de C et la pente de la droite (CC'), qui est la tangente de l'angle cherché. On trouve pour cette pente u = (2tanA.tanB)/(tanB-tanA), il ne me semble pas que les formules de trigo puissent rendre les choses plus sympathiques, et l'angle BC'C vaut donc arc tan u.
Par exemple si A vaut 60° et B, 45°, u est négatif et on prend un arc tan entre 0 et 180°, ici on trouve BC'C = 101°9, valeur approchée.
On déduite facilement de ces valeurs celles des angles au point de concours des trois médianes.
Bonne journée, JP

[aviateur]

Bonjour
Je n'y comprends rien. D'abord on ne sait pas bien de quoi tu pars A, B, C' c'est quoi? Et ensuite qu'est ce que tu cherches ou calcules?
De toute façon même si c'est nébuleux, on se rend bien compte aussi que c'est très louche :
En effet tu dis la droite (AC) a pour équation y=xtan(A) et (BC)= y=-x tan(C). Alors les deux droites se coupent en C=(0,0) mais alors A=C? C'est pas fait pour faciliter la compréhension

[mathelot]

C' est le milieu de [AB]. Ce sont les notations habituelles.

[Budin]

Pour aviateur : vous avez raison, il y a une coquille : l'équation de (BC) est en réalité y = -(x-2)tanB.
Bonne journée,
JP

[aviateur]

Bonjour
J'ai compris mais les angles formés par les médianes, c'est lesquels?
Uniquement les angles de sommet le centre de gravité G, il y en a au moins 6. Mais ici tu calcules un angle, non de sommet G mais l'angle de sommet C', i.e

Alors la réponse à ta question dans le cas général (pour l'angle que tu as calculé) c'est :


Evidemment on peut obtenir des formules pour les autres angles de la figure à partir des angles en A et B.
Pour l'angle que tu as considéré je ne pense pas que l'on puisse simplifier cette formule. Et c'est à peu près certain qu'il en sera de même pour tous les angles de la figure, en particulier ceux dont le sommet G.

Sur ton exemple avec ma formule on retrouve ton résultat.

[Budin]

C'est vrai.
Le point de départ de mon souci c'est le problème classique : étant données trois droites concourantes, construire un triangle dont elles sont les hauteurs ; puis les médiatrices, puis, les médianes, puis, les bissectrices.
Ensuite : est-ce que les triangles solutions sont tous semblables ?
Dans le cas des hauteurs, des médiatrices, des bissectrices, les angles que font entre elles les droites concourantes de la question et celle du triangle solution sont reliés par des formules très simples avec des additions, des soustractions...
Pour le cas des médianes, il est, je crois, évident, du fait de la construction de la solution que les triangles solution sont tous semblables, mais la relation entre les angles des droites concourantes et les angles du triangles sont "transcendantes" si l'on entend par là qu'il y entre de la trigonométrie.
Cordialement,
JP