Angle & Trigo

[Mathieu2000]

Bonjour, j'ai de nouveau un petit problème pour un exercice que j'ai du mal à gérer :

Résoudre dans ]π ; 3π], l'équation : .

J'ai pensé à utiliser , mais je suis un peut perdu...

Merci d'avance , Mathieu

[Lostounet]

Salut,

Très bonne idée. Utilise cette relation pour chasser le sinus (et le remplacer par un cosinus au carré).

Une fois cela fait, pose y=cos(x) et résous l'équation du second degré obtenue en y.

[Mathieu2000]

Salut, merci de ta réponse, je vais essayer !

[Mathieu2000]

Je viens de finir l'équation, merci beaucoup pour ton aide, j'ai donc eu 2 solutions, y1 et y2.
Afin de conclure x, il faut bien faire arc-cos de la solution ?

[annick]

Bonsoir,
d'accord avec toi, on a bien 2 solutions y1 et y2. Peux-tu les préciser ?
Ensuite, perso, je me sers du cercle trigonométrique car il faut que tu tiennes compte du domaine de définition.
Sauf erreur de ma part, je trouve 3 solutions dont je veux bien discuter avec toi si tu ne trouves pas.

[Mathieu2000]

Bien sûr ! J'ai résolut l'équation qui me donne :



Vous dites qu'il faudrait mieux placer ces point sur un cercle trigo ?
Le faite d'avoir y=cos(x) me gène, on peut pas remplacer y par cos(x) directement ?

[annick]

Je ne crois pas avoir les mêmes réponses que toi :

2sin²x+cosx-1=0
cos²x+sin²x=1, soit sin²x=1-cos²x

2(1-cos²x)+cosx-1=0
-2cos²x+cosx+1=0
-2y²+y+1=0

delta=1²-4(-2)=1+8=9=3²

y1= (-1+3)/-4=-1/2 donc cosx=-1/2
y2=(-1-3)/-4=1 donc cosx=1

Cela te donne des valeurs plus simples, facilement identifiables sur le cercle trigonométrique.

[Mathieu2000]

Vous aves tout-a fait raison !
J'ai fait une erreur en résolvant l'équation, j'avais -cos^2 au lieu de -2cos^2 (j'avais oublié de multiplié par 2)
J'obtiens les mêmes résultats que vous du coup !
En regardant sur le cercle trigo comme vous me l'avez conseillé, j'ai bien 3 solution : S=[0 ; 2π/3 ; -2π/3]
Merci beaucoup pour votre aide fort fort utile, merci encore

[annick]

Bon, encore une petite erreur.
En effet, ton domaine de définition est entre et 3, donc aucune de tes réponses ne marche dans ce domaine.
( il ne peut y avoir de réponse négative, il ne peut y avoir de réponse inférieure à .)

Donc :

cosx=1, la seule valeur possible pour x est 2

cosx=-1/2, x=4/3 ou x=8/3

Tu pars de et tu tournes sur le cercle trigonométrique. Tu as une première possibilité pour
+/3, une deuxième pour +, une troisième pour 3-/3

D'accord ?

[Mathieu2000]

oh oui, vous faites bien de me le dire, c'est vrai qu'il y a un intervalle ! Merci de me redire !
Je vais rectifier tout de suite, je vois très bien comment il fait procéder, il faut tourné dans le cercle entre π et 3π.
Merci encore, je vais aussi voir pour les autre questions que j'ai sur cette exercice, merci encore.
Bonne soirée !

[annick]

Contente d'avoir regardé ça avec toi. Bonne soirée à toi aussi.

[Lostounet]

Coucou Annick !

Je viens de finir l'équation, merci beaucoup pour ton aide, j'ai donc eu 2 solutions, y1 et y2.
Afin de conclure x, il faut bien faire arc-cos de la solution ?

Attention, car la fonction arccos est assez capricieuse: elle est définie sur [-1;1] et associe à une valeur de [-1;1] une valeur de [0; pi]:



Bien qu'elle soit pratique lorsqu'on travaille dans des triangles (les angles y sont justement entre 0 et pi !), elle va te jouer des "tours" (au sens propre et figuré ) vu que tu cherches justement des valeurs qui ne sont pas juste entre 0 et pi (donc il faudra des précautions ...)
Donc le cercle trigonométrique est un bon outil pour ne pas louper des solutions et faire le plus simple possible.

[mathelot]

de l'identité

on tire l'équation

[annick]

@mathelot : élégante, ta résolution.