ANALYSE

[kamelo]

BON SOIR
lim┬(-∞)⁡〖(sin⁡(πf(x)-2f(x))/(cos⁡(1/x)-1)〗 avec f(x) =x +√(x^2+|x| )

[Ben314]

Salut,
Il faudrait que tu te mette au MimeTeXpour que ce soit plus facilement lisible.

C'est bien ça ton énoncé ?
Si oui, lorsque , en utilisant le conjugué, on voit que tend vers donc le numérateur tend alors que le dénominateur tend vers 0.

Donc je soupçonne que ce n'est pas ça le vrai énoncé . . . (mais comme ton parenthésage est défaillant c'est pas étonnant que je me goure d'interprétation)

[kamelo]

MERCI
oui également lim┬(-∞)⁡〖(sin⁡(πf(x))-2f(x))/(cos⁡(1/x)-1)〗

[kamelo]

il manque une paranthèse juste après la premiere f(x)

[Ben314]

Pour , en posant (qui tend vers ), on a







Donc ta grosse fraction est équivalente à donc elle tend vers

[kamelo]

MERCI BIEN
mais es quec'est possible de la calculer sans DL ....pour niveau terminal

[catamat]

Bonjour

Pour la limite de f c'est assez classique en terminale pour le reste c'est bien plus technique ...

Pour f il suffit d'utiliser l'expression conjuguée et une factorisation :




Or x tend vers , donc |x|=-x

donc


ce qui donne bien la valeur de la limite en soit 0,5.

[Ben314]

Sinon, niveau terminale, c'est jouable, vu qu'au numérateur on n'a besoin que du D.L. à l'ordre 1 qui s'obtient dés qu'on sait dériver des fonctions.
Et pour le cosinus du dénominateur, je pense qu'en terminale ils ont vu que :

Voire sans doute aussi que :


Mais ça c'est même pas utile ici si on veut juste la limite et pas un équivalent vu qu'il suffit de savoir que qui s'obtient par simple définition de la dérivée.

Bref, c'est faisable, mais bien compliqué vu que pour le numérateur, il faut non seulement calculer la limite de en -oo (en faisant par exemple comme le fait catamat), mais il faut aussi calculer la limite de pour conclure (ça peut aussi se calculer uniquement en utilisant des quantités conjuguées, mais c'est bien chiant . . . )

[catamat]

Bon si on détaille le calcul de Ben (si j'ai bien compris le truc...) on a ceci :
On peut écrire la fonction sous la forme suivante :



On a avec h qui tend vers 0 par valeur négatives, donc 1/C a pour limite 0 et 1/C>0 car les deux termes de la fraction sont négatifs.
Donc C a pour limite

A peut s'écrire ou encore où avec t qui tend vers
La limite de A est donc c'est à dire -2.

Reste la limite de B...
ou en reprenant l'expression de f(x) obtenue dans mon message précédent :

C'est là que l'expression conjuguée va servir, on obtient :


Donc la limite de B en est

Finalement ABC a pour limite

[kamelo]

MERCL