Algorithme de Héron

[Juliette45550]

Bonjour,

Un des exercices de mon DM porte sur l'algorithme de Héron, basé sur une suite Un définie par:
U0 = 2
Un+1 = 1/2 (Un + 2/Un)

Je dois d'abord calculer les termes U1, U2 et U3 avec un résultat sous forme de fraction. Voici ma réponse (Est-ce que cela semble bon?) :
U1= 3/2
U2= 17/12
U3 = 17/24 + 12/17 soit sous forme décimale 1,414215686

Ensuite je dois écrire un algorithme en langage calculatrice permettant de calculer les 5 premiers termes de la suite. Chose que je ne sais absolument pas faire ^^".

Enfin, en admettant que Un soit supérieure ou égale à la racine carré de 2, je dois démontrer que la suite Un est décroissante. J'ai donc essayé d'étudier son signe:

Un+1 - Un = 1/2 (Un + 2/Un) - Un
= 1/2 Un + 2/2Un - Un
= - Un/2 + 2/Un
= (-Un² + 4)/ 2 Un

Est-ce que c'est faux? Comment aller plus loin? Merci d'avance pour votre aide.

[capitaine nuggets]

Salut !

On veux des résultat sous forme de fraction afin de pouvoir comparer plus facilement (si besoin est) les termes .
Mets donc sous la forme d'un quotient de deux entiers. :++:

Ensuite, si on suppose que , que peux-tu dire du signe de ? Déduis-en alors le signe de la différence . :+++:

[chombier]

Bonjour,

Un des exercices de mon DM porte sur l'algorithme de Héron, basé sur une suite Un définie par:
U0 = 2
Un+1 = 1/2 (Un + 2/Un)

Je dois d'abord calculer les termes U1, U2 et U3 avec un résultat sous forme de fraction. Voici ma réponse (Est-ce que cela semble bon?) :
U1= 3/2
U2= 17/12
U3 = 17/24 + 12/17 soit sous forme décimale 1,414215686

Ensuite je dois écrire un algorithme en langage calculatrice permettant de calculer les 5 premiers termes de la suite. Chose que je ne sais absolument pas faire ^^".

Enfin, en admettant que Un soit supérieure ou égale à la racine carré de 2, je dois démontrer que la suite Un est décroissante. J'ai donc essayé d'étudier son signe:

Un+1 - Un = 1/2 (Un + 2/Un) - Un
= 1/2 Un + 2/2Un - Un
= - Un/2 + 2/Un
= (-Un² + 4)/ 2 Un

Est-ce que c'est faux? Comment aller plus loin? Merci d'avance pour votre aide.

C'est bon pour u1, u2 (pour u3 c'est bon mais il manque la valeur exacte).

Pour l'algo, ça dépends de ta calculatrice. Sur ma TI Nspire, c'est assez élégant à faire :



Pour montrer qu'elle est décroissante, je pense qu'il faut utiliser une récurrence quelque part.
Commence par prouver par récurrence que pour tout n, u_n > racine(2)

Le reste viendra tout seul avec ta méthode (qui semble juste, à vue de nez)