Algèbre: branches infinies

[souris bleue]

:we: Bonjour, pouvez-vous m'aidez pour l'exercice suivant? Je ne comprends pas très bien les questions surtout la première. Merci d'avance. :hein:

La fonction f est définie pour tout réel x par f(x)=e^(x/2)-(x/2)-1.
On note C sa courbe représentative.

1) Etudier la branche infinie de C au voisinage de -;)
2) Déterminer les limites de f(x) et de f(x)/x lorsque c tend vers +;). C admet-elle une autre asymptote?
3) Déterminer la dérivée f' de f et établir le tableau de variation de f.

[celge]

Etudier la branche infinie, c'est etudier l'asymptote, ici en - l'infini.

Alors en gros, ici, tu remarque assez facilement que f tend vers l'infini quand x tend vers - l'infini
et on a f(x) + x/2 + 1 qui tend vers 0 en - l'infini.
Donc f admet pour asymptote en - l'infini, la droite d'equation y = -x/2 - 1

[Chalta]

Je croyais qu'on voyait le terme de Branche Infinie seulement en prépa ??
:doh:
enfin ici, ils auraient pu directement donner le nom d'asymptote ^^

[celge]

oui, je n'avais jamais employé branche infini en terminale...

Bon, en premier lieu, j'ai donné la méthode de resolution terminale facile, c'est à dire, on remarque que notre brave fonction tend vers l'infini ou - l'infini, puis, que si on retranche un fonction affine sympa à notre brave fonction, ben la difference tend vers 0. Alors, la brave fonction admet une asymptote d'equation notre brave fonction affine.)
maintenant, la methode plus rigoureuse, et qui marche meme si on n'a pas l'intuition de la fonction affine sympa, c'est (comme ils le suggerent à la question 2), de deiviser ta brave fonction par x, de voir si ça admet une limite finie . Si oui, ben tu as le coefficient directeur de ton asymptote, que nous appelerons a. (dans le cas contraire pas de branche infinie.)
Ensuite, il te suffit, dans le cas où on a trouvé a, de calculer la limite de f(x) - a*x (qui donnera un reel b), de sorte que notre asymptote aura pour equation y = a x b

[souris bleue]

Coucou, donc, pour la question1, j'ai fais l'étude de la branche infinie de C au voisinage de -;).
On remarque que lim f(x) quand x tend vers -;) est égale à +;)
On a aussi lin f(x)+x/2+1 quand x tend vers -;) est égale à 0
Donc, f admet pour asymptote en -;), la droite d'équation y= -x/2-1. Comme lim f(x) quand x tend vers -;) est égale à +;) alors, la fonction f admet une branche infinie en -;). Je voudrais savoir si c'est bon et, s'il faudrait rajouter quelque chose afin de vraiment répondre à la question 1.

Pour la question 2, j'ai trouvé que lim f(x) quand x tend vers +;) est égale à +;)-;) donc, c'est une FI après, je ne sais pas trop comment faire. Pour lim f(x)/x quand x tend vers -;) du coup, je ne sais pas faire.

Pour la question 3, j'ai trouvé que f'(x)=(1/2)e^(x/2)-1/2. Par conséquent, j'ai trouvé à l'aide de la calculette que,f'x est négative sur [-;);0] et positive sur [0;+;)]. Donc, f(x)d'abord décroissante puis croissante. Est-ce que cela est juste?

[celge]

Pour la question 1, ça va au niveau details et redaction.
Pour la question 2, pour savoir si f a une asyptote en l'infini, etudie f(x) sur x en plus infini
tu a f(x)/x = e^(x/2) / x - 1/2 - 1/x, et tu sais que exp l'emporte sur x (par croissance comparée), quand x tend vers l'infini, donc f(x)/x tend vers l'infini en plus l'infini, donc pas d'asymptote.

[souris bleue]

ok merci, je pense avoir réussi maintenant