Ajustement d'une parabole à trois points avec une contrainte

[kevin8255]

Salut,
Pour un devoir en Calcul, on me demande d'ajuster le mieux possible une parabole d'équation y=ax^2+b passant par les points (1,0), (4,4) et (6,8).

De plus, cette parabole doit permettre la minimisation d'une somme de carrés S qui correspond à :
S = (a+b)^2 + (16a+b-4)^2 + (36a+b-8)^2.

J'ai de la difficulté à débuté ma démarche, car aucune notion vu en cours me donne une idée de par quoi commencé.

Merci de votre aide, c'est très apprécié !

[WillyCagnes]

Bjr
Y=ax^2 + b
Pour le pt A(1;0) tu as
0= a +B donc la 1 ère contrainte=0
Continue avec les 2 autres pts
B(4;4) et C(6;8)

[pascal16]

y=ax^2+b passant par les points (1,0), (4,4) et (6,8).

3 contraintes pour 2 paramètres, le système d'équation n'a sans doute aucune solution.
J'ai pas vérifié, mais en faisant un calcul, on peut exprimer la "distance" entre une solution et la solution parfaite comme le minimum de :
S = (a+b)^2 + (16a+b-4)^2 + (36a+b-8)^2.

il faut donc minimiser S.
Il n'y a pas de méthode algébrique niveau bac, passons à une autre méthode
dans géogebra, créer deux curseurs a et b
dans la ligne de commande, taper s = (a+b)^2 + (16a+b-4)^2 + (36a+b-8)^2
(le s en minuscule car S en majuscule risque d'être pris pour un point).
fait bouger tes curseurs pour minimiser s
il faut faire bouger a, puis b puis a, puis b...
ajuste les bornes des curseurs et leur définition au fur et à mesure que tu t'approche de la solution

perso j'ai trouvé un a entre 0 et 1, et b légèrement négatif.

[kevin8255]

Oui merci beaucoup pour l'aide. J'ai résolu le problème en minimisant S. J'ai trouver ses points critiques (a,b) et déterminer son minimum absolu. Par la suite, le point (a,b) trouvé correspondais aux valeurs de la parabole.

[pascal16]

a=42/185 = 0.23 à 0.01 près

[Ben314]

Je sais pas à quel niveau on voit la forme canonique d'un trinôme du second degrés, mais un tel problème est on ne peut plus facilement "soluble" lorsque l'on connait la forme canonique :
Pour a fixé (par exemple) S = (a+b)^2 + (16a+b-4)^2 + (36a+b-8)^2 = 3b^2+(106a-24)b+(1553a^2-704a+80)
Sous forme canonique, ça donne S = 3(b+106a/a-4)^2 + 1850a^2/3-280a+32 donc S est supérieur ou égal à S' = 1850a^2/3-280a+32 avec égalité ssi b+106a/6-4=0)
Et y'a plus qu'à mettre S' = 1850a^2/3-280a+3 sous forme canonique pour en déterminer le minimum :
S' = 1850/3(a-42/185)^2 + 8 /37
Donc le minimum de S est 8 /37 et il est atteint pour a=42/185 et b=4-106a/6=-2/185.