Aire d'un triangle fonction 1/x TS

[Maxime16730]

Bonjour et merci de me lire. => C'est mon premier post :happy2:

J'ai eu un devoir à faire que je n'ais pas réussi pour le moment :hum: , merci de votre aide .

Voici le sujet :

Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par f(x)=1/x. Soit a un reel strictement supérieur à 1 , les points A et B sont deux points de Cf d'abscisses respectives a et 1/a.
On trace les deux tangentes Cf en A et B elles se coupent en C et coupent respectivement l'axe des abscisses en E et D . Déterminer la limite de l'aire du triangle CDE lorsque a tend vers +infini .

[img]capture%20maths[/img]

J'ai déjà essayé plusieurs méthodes comme par exemple essayer de trouver l'ordonnée à l'origine des deux tangentes en fonction de x ( et de y pour la deuxieme ) essayer de trouver le point d'intersection . Cependant cela ne m'aide pas vraiment à trouver le point E et de tout de façon ce n'est pas en fonction de x

Il faudrait aussi prouver que la fonction est strictement décroissante cependant même si intuitivement cela peut paraître facile je ne sais pas comment faire ... Peut être par récurrence ( mais je ne sais même pas si cela marche avec les fonctions comme avec les suites ...)

Bref je n'y suis pas vraiment ... je ne sais pas vraiment sur quelle autre voie partir ...

Je ne sais pas si l'image à été envoyé mais je suis novice sur ce forum

Merci d'avance de votre aide ! :happy2:

[chan79]

Bonjour et merci de me lire. => C'est mon premier post :happy2:

J'ai eu un devoir à faire que je n'ais pas réussi pour le moment :hum: , merci de votre aide .

Voici le sujet :

Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[. Soit a un reel strictement supérieur à 1 , les points A et B sont deux points de Cf d'abscisses respectives a et 1/a.
On trace les deux tangentes Cf en A et B elles se coupent en C et coupent respectivement l'axe des abscisses en E et D . Déterminer la limite de l'aire du triangle CDE lorsque a tend vers +infini .

[img]capture%20maths[/img]

J'ai déjà essayé plusieurs méthodes comme par exemple essayer de trouver l'ordonnée à l'origine des deux tangentes en fonction de x ( et de y pour la deuxieme ) essayer de trouver le point d'intersection . Cependant cela ne m'aide pas vraiment à trouver le point E et de tout de façon ce n'est pas en fonction de x

Il faudrait aussi prouver que la fonction est strictement décroissante cependant même si intuitivement cela peut paraître facile je ne sais pas comment faire ... Peut être par récurrence ( mais je ne sais même pas si cela marche avec les fonctions comme avec les suites ...)

Bref je n'y suis pas vraiment ... je ne sais pas vraiment sur quelle autre voie partir ...

Je ne sais pas si l'image à été envoyé mais je suis novice sur ce forum

Merci d'avance de votre aide ! :happy2:

salut
essaie de mettre l'expression de f(x)

[Maxime16730]

Pardon f(x) = 1/x :) Désolé

[chan79]

Pardon f(x) = 1/x Désolé

commence par établir l'équation de la tangente en a puis l'équation de la tangente en B.

[Maxime16730]

J'ai essayé de faire ça mais la valeur obtenue était en fonction de x .
J'ai réussi a le faire que pour des valeurs isolées avec f'(a)(x-a)+f(a)
Sur géogébra je trouve (en gros ) les règles opératoires mais je ne sais pas comment les démontrer ...
J'ai pris une variable k pour faire en fonction de x

Je trouve y=(1/k²)x+(2/k)
et y=k²x+2k

Par exemple pour 2 ca me donne

(1/2²)x+2/2=1/4x+1
2²x+2*2=4x+4

comment pourrais-je le démontrer ?

[Maxime16730]

J'ai pensé à la récurrence , mais je doute de pouvoir le faire ... Pouvez vous me conseiller ? ;)

[chan79]

J'ai pensé à la récurrence , mais je doute de pouvoir le faire ... Pouvez vous me conseiller ?

l'équation de la tangente en A(a;1/a) est
y-1/a=f'(a)(x-a)
calcule f'(a) en fonction de a
Fais de même pour l'équation de la tangente en B(1/a;a)

[Maxime16730]

Pour a j'ai :y-1/a=f'(a)(x-a) soit y-1/a=(-1/a²)x+1/a soit y=(-1/a²)x+2/a

Donc pour B : y-b=b²x+b soit y=-b²+2b

Je voudrais donc faire la diffèrence de ces deux équations

(-1/a²)x+2/a=-b²x+2b

Quelle deuxième équations dois-je prendre pour faire un système ?

[chan79]

Pour a j'ai :y-1/a=f'(a)(x-a) soit y-1/a=(-1/a²)x+1/a soit y=(-1/a²)x+2/a

Donc pour B : y-b=b²x+b soit y=-b²+2b

Je voudrais donc faire la diffèrence de ces deux équations

(-1/a²)x+2/a=-b²x+2b

Quelle deuxième équations dois-je prendre pour faire un système ?

y=(-1/a²)x+2/a (tangente en A)
Ensuite les coordonnées de B sont (1/a;a)
pour la tangente en B, tu dois avoir y=-a² x+2a

[Maxime16730]

Oui erreur de ma part de toute facon j'ai essyé de changer mon raisonnement ... J'en suis ici
Je vais chercher la valeur ou les tangentes donneront 0.
La diffèrence E-D me permettra alors de trouver le 3ème coté :)

Je commence par a

-(1/a²)x+2/a=0
(1/a²)x=2/a
(1/a)x=2
x=2a

Je vais ensuite faire pour B

[Maxime16730]

Pour B nous savons que
-a²x+2a=0 donc
-a²x=2a
ax=2
x=2/a

Je vais donc calculer la distance entre ces 2 droites

[chan79]

Oui erreur de ma part de toute facon j'ai essyé de changer mon raisonnement ... J'en suis ici
Je vais chercher la valeur ou les tangentes donneront 0.
La diffèrence E-D me permettra alors de trouver le 3ème coté

Je commence par a

-(1/a²)x+2/a=0
(1/a²)x=2/a
(1/a)x=2
x=2a

Je vais ensuite faire pour B

il te faudra aussi la hauteur du triangle, qui est l'ordonnée de C
tu devras résoudre le système
y=-x/a²+2/a
y=-a²x+2a

[Maxime16730]

La longueur du coté est donc donnée par la relation xE-xD

Soit L=2a-2/a

J'ai calculé la base du triangle . Je calcule donc la hauteur.

[chan79]

La longueur du coté est donc donnée par la relation xE-xD

Soit L=2a-2/a

J'ai calculé la base du triangle . Je calcule donc la hauteur.

c'est bien ça
tu dois trouver une hauteur égale à 2a/(a²+1)

[Maxime16730]

Pour trouver la hauteur du triangle je dois résoudre le système qui donne l'intersection des deux tangentes à savoir :
y=-x/a²+2/a <=> x/a²=-y+2/a <=> x=-a²y+2a (1)
et y=-a²x+2a <=> a²x=-y+2a <=> x=-y/a²+2/a (2)

Je soustrait donc l'équation membre à membre :

x-(y/a²)+2/a=x-a²y+2a

Je simplifie :

-(y/a²)+2/a=-a²y+2a
-(y/a²)+2/a+a²y-2a=0

A partir d'ici je vois deux (!) possibilités de simplifications :

-a²y=-(y/a²)+2/a-2a
y=(y/a^4)-(2/a^3)+2/a

et

y/a²=2/a+a²-2a
y=2a+a^4-2a^3
y=2a(1+1/2a^3-a²)

Quelle simplification est la bonne ( si tenté qu'une le soit :cry: ) et comment dois-je faire pour arriver sur votre expression ;) ...

Je suis totalement bloqué si près du but ... Parfois les maths c'est cruel :) :mur:

[chan79]

Pour trouver la hauteur du triangle je dois résoudre le système qui donne l'intersection des deux tangentes à savoir :
y=-x/a²+2/a x/a²=-y+2/a x=-a²y+2a (1)
et y=-a²x+2a a²x=-y+2a x=-y/a²+2/a (2)

Je soustrait donc l'équation membre à membre :

x-(y/a²)+2/a=x-a²y+2a

Je simplifie :

-(y/a²)+2/a=-a²y+2a
-(y/a²)+2/a+a²y-2a=0

A partir d'ici je vois deux (!) possibilités de simplifications :

-a²y=-(y/a²)+2/a-2a
y=(y/a^4)-(2/a^3)+2/a

et

y/a²=2/a+a²-2a
y=2a+a^4-2a^3
y=2a(1+1/2a^3-a²)

Quelle simplification est la bonne ( si tenté qu'une le soit ) et comment dois-je faire pour arriver sur votre expression ...

Je suis totalement bloqué si près du but ... Parfois les maths c'est cruel :mur:

tu as
y=-x/a²+2/a
et y=-a²x+2a
on peut avoir x assez vite
-x/a²+2/a=-a²x+2a
x(a²-1/a²)=2a-2/a


x(a²-1)(a²+1)=2a(a²-1)
x(a²+1)=2a
x=2a/(a²+1)
puis
y=-a²x+2a= = 2a/(a²+1) (on remarque que y=x)
ensuite tu calcules l'aire puis sa limite

[Maxime16730]

Pour calculer l'aire on se sert de la formule suivante : A=BH/2

Ce qui équivaut à (((2a-2/a)(2a))/(a²+1))/2
soit ((a-1/a)(2a))/(a²+1)
(2a²-2)/(a²+1)
(a²(2-(2/a²)))/a²(1+(1/a²)
(2-(2/a²)/(1+(1/a²)

L'aire du triangle est donnée par la formule suivante : A=(2-(2/a²)/(1+(1/a²)

Il ne me reste alors plus qu'à calculer la limite de la fonction .

J'ai donc : lim x=>infini (2-(2/a²))= 2+0 = 2
Et lim x=> infini (1+(1/a²))=1+0=1

Par quotient , j'ai donc :

lim x=> infini A(x)=2/1=2

Quand a tend vers l'infini , la fonction tend vers 2
Quand a tend vers l'infini , l'aire du triangle tend vers ... 2 ! :)

J'ai fini ce devoir et je remercie chan79 pour son aide sans laquelle il m'aurait été impossible de finir ce devoir ! :)=

[chan79]

Pour calculer l'aire on se sert de la formule suivante : A=BH/2

Ce qui équivaut à (((2a-2/a)(2a))/(a²+1))/2
soit ((a-1/a)(2a))/(a²+1)
(2a²-2)/(a²+1)
(a²(2-(2/a²)))/a²(1+(1/a²)
(2-(2/a²)/(1+(1/a²)

L'aire du triangle est donnée par la formule suivante : A=(2-(2/a²)/(1+(1/a²)

Il ne me reste alors plus qu'à calculer la limite de la fonction .

J'ai donc : lim x=>infini (2-(2/a²))= 2+0 = 2
Et lim x=> infini (1+(1/a²))=1+0=0

Par quotient , j'ai donc :

lim x=> infini A(x)=2/1=2

Quand a tend vers l'infini , la fonction tend vers 2
Quand a tend vers l'infini , l'aire du triangle tend vers ... 2 !

J'ai fini ce devoir et je remercie chan79 pour son aide sans laquelle il m'aurait été impossible de finir ce devoir ! =

De rien, la limite est bien 2