Aire ...

[itouchu]

Merci de votre aide :we:

[Sa Majesté]

L'aire d'un rectangle c'est le produit des longueurs des côtés
Quels sont les longueurs des côtés du rectangle intérieur construit sur un intervalle du type [k/n ; (k+1)/n] ?

[itouchu]

k+1/n - k/n = 1/n
et 1/n x n-1 = n-1/n ? c sa l aire ?

[Sa Majesté]

La largeur est bien 1/n mais quelle est la longueur du rectangle ?

[itouchu]

Eh bien on a 0 <= k <= n-1
Alors c'est k ?

[Sa Majesté]

Non
Les rectangles sont intérieurs au domaine délimité par la courbe
Fais un dessin, tu verras

[itouchu]

La courbe en ordonnée va de 0 à 1
Si 1/n c'est la largueur ... alors ben la longueur va de 0 à 1 ?

[Sa Majesté]

Non, le rectangle est délimité par la courbe f(x) = x^3

[itouchu]

Ya besoin de calculer l'intégrale alors ?

[Sa Majesté]

Non
Tu cherches l'aire d'un rectangle
Tu connais déjà la largeur qui vaut (k+1)/n - k/n = 1/n
Il te reste à trouver sa longueur
Dessine la courbe entre 0 et 1
Dessine un rectangle entre k/n et (k+1)/n délimité par la courbe et tu trouveras sa longueur

[itouchu]

Ahh ... :hum:

f(1/n) = (1/n)^3 = 1/n^3 ?

[Sa Majesté]

Yes :++:
Sauf que c'est f(k/n) puisque tu considères le rectangle d'abscisses comprises entre k/n et (k+1)/n

[itouchu]

Oké ouuuf ^^

Donc on a l'aire = k^3 / n^4

Ensuite pour U1, U2, U3 ...
Je vois pas trop comment procéder ya le k qui gêne ...
A moins que je le laisse tel quel ?

[Sa Majesté]

Oké ouuuf ^^

Donc on a l'aire = k^3 / n^4

Garde ce résultat au chaud, il va te servir pour la question 3

Ensuite pour U1, U2, U3 ...
Je vois pas trop comment procéder ya le k qui gêne ...
A moins que je le laisse tel quel ?

Calcule les premiers termes "à la main"
Par exemple pour n=2 combien de rectangles intérieurs as-tu ?
Quelle est l'aire de chacun de ces rectangles ? La somme te donne U2.

[itouchu]

Pour n=2
2 rectangles intérieurs ...

L'aire : largeur 1/n et longueur 1/n^3

U1 = 1/1 x 1/1^3 = 1
U2 = 1/2 x 1/2^3 = 1/16
U3 = 1/3 x 1/3^3 = 1/9

Si j'additionne faut que le remultiplie par n au dessus ou c'est bon ?

[Sa Majesté]

Hum ... pas tout à fait
Reprenons pour U2
Tu as bien 2 rectangles intérieurs
Quelle est l'aire de ces 2 rectangles ?

[itouchu]

Justement je ne sais pas !
On peut pas utiliser l'aire d'un rectangle intérieur trouvé à la 1 ?

[Sa Majesté]

Si on peut
Mais le plus simple c'est de les dessiner pour voir ce que ça donne

[itouchu]

Oui jai le dessin sous les yeux, avec les 2 rectangles et la courbe f ...
Mais on a pas de valeur ... et de plus les rectangles ne sont pas identiques ^^

:cry: :cry: :cry:

[Sa Majesté]

Le 1er rectangle va de x=0 à x=1/2 (largeur = 1/2, à toi de trouver la longueur)
Le 2ème rectangle va de x=1/2 à x=1 (largeur = 1/2, à toi de trouver la longueur)
U2 = aire du 1er rectangle + aire du 2ème rectangle

Pour n=3
Le 1er rectangle va de x=0 à x=1/3 (largeur = 1/3, à toi de trouver la longueur)
Le 2ème rectangle va de x=1/3 à x=2/3 (largeur = 1/3, à toi de trouver la longueur)
Le 3ème rectangle va de x=2/3 à x=1 (largeur = 1/3, à toi de trouver la longueur)
U3 = aire du 1er rectangle + aire du 2ème rectangle + aire du 3ème rectangle