Aire et équations de cercles

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes,

Dans un repère orthonormé :
C1:x²+y²-6x-4y=0
C2:x²+y²-10x-10y+24=0
E l'ensemble des points M(x;y) intérieurs à C1 et extérieurs à C2
Pourquoi l'aire du domaine E est-elle un nombre entier ?

(Je pense qu'il faut calculer l'aire (car certains qui font un mauvais schémas pensent que l'aire est 0 et se précipitent en concluant que 0 est un entier) ...)

Merci !

[Lostounet]

Bonsoir !

Soit on calcule la différence, à la main... soit on cherche la petite bête comme suit:

C1: (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13 Cercle de centre O(3 ; 2)
C2: (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 26 Cercle de centre O'(5 ; 5)

Les points P intérieurs à C1 vérifient OP 26

Alors P a des coordonnées telles que:

(x - 3)^2 + (y - 2)^2 26

En [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28x+-+3%29^2+%2B+%28y+-+2%29^2+%3C%3D+%E2%88%9A13%2C+%28x+-+5%29^2+%2B+%28y+-+5%29^2+%3E+%E2%88%9A26]résolvant[/url] ce système d'inéquations:

Je ne sais pas continuer...

J'ai une question: Comment calculer systématiquement l'aire d'un domaine donné par une équation cartésienne (un cercle, aire sous une parabole, etc...)

[upium666]

J'ai une question: Comment calculer systématiquement l'aire d'un domaine donné par une équation cartésienne (un cercle, aire sous une parabole, etc...)

Par intégration ? :s ...

[Lostounet]

Et si on ne voit pas une fonction a priori?

[upium666]

Et si on ne voit pas une fonction a priori?

Je n'ai pas compris ce que vous voulez dire :/

[Lostounet]

Reprenons,

Nous avons deux disques. Pour calculer l'aire de leur intersection, nous pouvons avoir recours à une approche géométrique... Avant d'élaborer des méthodes analytiques.

Pour commencer, comment ferais-tu pour calculer l'aire de l'intersection de deux disques (sécants)?

[raph107]

Par intégration ? :s ...

Oui on peut résoudre le pb par une différence de 2 integrales, soit en faisant un changement de variables de façon à ce que les 2 centres de cercles soient sur le nouveau axe des abscisses, soit en considérant que l'aire de la partie en question ne dépend que de la distance entre les centres, et des rayons, cela permettrait de se passer du changement de repère et de placer les centres des 2 cercles sur l'axe des abscisses.

On se ramène donc à 2 cercles dont les centres sont sur l'axe des abscisses. Ce dernier est un axe de symétrie pour le domaine E. Donc on peut s'interesser uniquement à la partie au dessus de l'axe des abscisses.

On réecrit les equations des 2 cercles et on en déduit que les demi-cercles au dessus de l'axe des abscisses sont les courbes de 2 fonctions f1 et f2. Ces courbes se coupent en 1 point dont il faut déterminer l'abscisse x0. La suite ne présente aucune difficulté pour trouver l'aire par différence de 2 intégrales

[Lostounet]

Je reprends un peu mon idée, pour calculer l'aire commune de ces deux disques:



* (ACD) est un quart de disque de centre A, d'aire pi*r^2/4

* Le triangle ACD a une aire que l'on peut facilement déterminer

* En calculant la différence, tu trouves l'aire de la partie délimitée par l'arc rose et [CD]

* En y ajoutant l'aire du demi-disque (DAC) de centre B (pourquoi c'est un demi-disque, il faut le justifier), tu trouves l'aire commune !


Maintenant, pour deux autres cercles, il faut voir s'ils sont sécants déjà, si l'un est 'dans l'autre' ou s'ils sont disjoints. C'est bien le cas pour nos cercles

[upium666]

Je reprends un peu mon idée, pour calculer l'aire commune de ces deux disques:



* (ACD) est un quart de disque de centre A, d'aire pi*r^2/4

* Le triangle ACD a une aire que l'on peut facilement déterminer

* En calculant la différence, tu trouves l'aire de la partie délimitée par l'arc rose et [CD]

* En y ajoutant l'aire du demi-disque (DAC) de centre B (pourquoi c'est un demi-disque, il faut le justifier), tu trouves l'aire commune !


Maintenant, pour deux autres cercles, il faut voir s'ils sont sécants déjà, si l'un est 'dans l'autre' ou s'ils sont disjoints. C'est bien le cas pour nos cercles

J'y avais pensé effectivement
La figure est juste mais l'aire que je calcule ne me donne pas un nombre entier :hein: !
:doh:

[Lostounet]

Moi non plus, je trouve 13(pi - 1)...

Je me demande bien s'il existe deux disques de rayons rationnels (sécants) avec une aire commune entière ...

[upium666]

Moi non plus, je trouve 13(pi - 1)...

Je me demande bien s'il existe deux disques de rayons rationnels (sécants) avec une aire commune entière ...

J'ai trouvé pareil

Soit l'énoncé est faux
Soit la logique mathématique a pris un sacré coup là !

(J'opterais pour la première :ptdr: )

[raph107]

J'ai trouvé pareil

Soit l'énoncé est faux
Soit la logique mathématique a pris un sacré coup là !

(J'opterais pour la première :ptdr: )

L'énoncé n'est pas faux.

On est d'accord que l'aire de E ne dépend que de la distance entre les 2 cercles et des rayons des 2 cercles, donc, on peut placer les 2 cercles n'importe où dans le plan à condition de respecter ces 2 contraintes.

Soit C1 le cercle de centre O (origine du repère) et de rayon et C2 le cercle de centre O2 de coordonnées( , 0) et de rayon . Ces 2 cercles vérifient bien les 2 conditions.

L'équation de C1 est: x² + y² = 13, celle de C2 est .
Les 2 cercles ont 2 points d'intersection de même abscisse 0.

L'axe des abscisses est un axe de symétrie pour la figure et en particulier pour le domaine E, donc on peut s'interesser uniquement à la partie au dessus de l'axe des x. Dans ce cas le demi cercle de C1 est la courbe de la fonction f1 définie par et pour le demi cercle de C2 on

L'aire de E est égale à:


Arrivé là, il reste à calculer et pour ça je passe la main à ma TI qui donne , qui est bien un nb entier.

Edit: Je conviens que c'est une méthode bulldozer qui donne même la valeur de l'aire, et qu'il y a probablement une méthode astucieuse simple pour montrer que l'aire est juste un nb entier

[chan79]

salut
les carrés des rayons sont 13 et 26
ACD est rectangle isocèle
je ferais la moitié de l'aire du petit disque - (aire du quart du grand disque - aire de ACD)


[img][IMG]http://img836.imageshack.us/img836/8587/25324601.gif[/img]