Aire d'un cercle avec octogone inscrit

[mickheavy]

Bonjour,

Je dois calculer l'aire d'un cercle grâce à un octogone inscrit de 77,30 m de coté.
Avec les formules du sinus,cosinus et tangente.

Chaque coté extérieur de l'octogone forme un triangle en prolongant les coté vers le centre du cercle.
l'angle du triangle (au centre du cercle) vaut 45°

Merci de votre aide.

J'aurais aimer mettre une photo,mais je ne sais pas comment on fait.

:lol3:

[Melle Z]

imagine un de ces triangles , qu'on va appeler ABO, O etant le centre du cercle, et AB un des coté de l'octogone mesurant donc 77.30 m

ce triangle est isocele, puisque les deux autres cotés sont des rayons du cercle (puisque l'octogone est inscrit).

on ne sais pas trop travailler avec des triangles isocele, mais, on peut le transformer en 2 triangles rectangle en posant le point I, milieu de [AB]

on a donc deux triangles rectangle en i , AIO et BIO.

le fait est qu'on connait la mesure de l'angle O de chaque triangle rectangle, puisque c'est la moitié de 45°, et on connait aussi la mesure d'un des coté, soit AI , soit BI selon le triangle que tu souhaites utiliser, a savoir la moitié de 77.30m

le but est de retrouver la longueur OA (ou OB), parce qu'avec le rayon tu peux calculer l'aire du cercle.

... voila!

[Melle Z]

d'ailleurs on connait aussi les valeurs des autres angles de chaque triangle! (j'avais oublié)

:-)

[chan79]

salut

Soit H le milieu d'un côté [AB].
Utilise le sinus de 22.5° dans OAH (O est le centre du cercle)

[loxaxs]

Bonjour,
Le calcule de l'aire d'un cercle se fait avec la formule :
A = r²*pi
Il nous faut donc trouver r (le rayon).

On remarque que ton octogone est régulié (tout ses cotés ont la même longeur & il est inscrit dans un cercle)

Appelons O le centre du cercle, et A et B deux sommets de l'octogone tel que [AB] soit un coté de l'octogone. Appelons I le milieu de [AB].
Puisque l'octogone est régulié, le triangle OAB est isocèle. Donc le triangle OIA est rectangle en I.

Bonne chance ;)

... Melle_z à été plus rapide que moi -_-.

[mickheavy]

Merci,mais je crois que je ne peux utiliser que la formule du sin,cos et tg. Et pas A = r²*pi
Car cette formule n'est pas dans ma theorie.

[loxaxs]

Ah. dommage.
Te demande t'on une approximation, ou l'aire exacte ?
A quel niveau d'étude est poser ce problème ? (C'est vraiment étonnent que A = r²*pi ne soit pas autorisé, car cette formule est introduite dès le collège)

[mickheavy]

Ah. dommage.
Te demande t'on une approximation, ou l'aire exacte ?
A quel niveau d'étude est poser ce problème (C'est vraiment étonnent que A = r²*pi ne soit pas autorisé, car cette formule est introduite dès le collège).

Tu as raison ... Je suis con moi ... je n'ai que les formules pour calculer un angle ou un coté d'un triangle.... donc un coté sera le rayon.Mais il faudra que je calcule l'aire du cercle avec ce rayon ... Donc j'ai besoin de ta formule...
En fait je te remercie.

[mickheavy]

Merci de ta réponse,je calcule.
Ca semble tellement simple quand on a les explications.

[loxaxs]

Si je n'est pas fait d'erreur :
>>> 38.65
r = --------
>> sin(22.5)
r = 100.9973171849439 m

A = r²*pi
A = 32045.6841628427 m²
"La valeur approchée de l'aire, arrondie au m² près, est de 32 046 m²"
/!\ 45.7 ~= 46

[mickheavy]

Mais ... le triangle OIA ... angle O = 22,5° ... angle I = 90° ... coté IA 38,65 m ...
Je vois pas comment calculer le coté OA car j'ai des degrés et des mètres ....

[loxaxs]

sin(angle) = coté_opposé / hypoténuse
Ici, OA est l'hypotenuse du triangle OAI rectangle en I.
hypoténuse = coté_opposé / sin(angle)

Courage.

[mickheavy]

je ne comprends pas ...
Pq le sinus ? de l'angle O = 22,5° ... donc sin O = 0,3826 degré ou mètres ??
Et tu fais quoi après avec ça ?? Comment as tu trouver le rayon ??

[Carpate]

Bonjour,

Je dois calculer l'aire d'un cercle grâce à un octogone inscrit de 77,30 m de coté.
Avec les formules du sinus,cosinus et tangente.

Chaque coté extérieur de l'octogone forme un triangle en prolongant les coté vers le centre du cercle.
l'angle du triangle (au centre du cercle) vaut 45°

Merci de votre aide.

J'aurais aimer mettre une photo,mais je ne sais pas comment on fait.

:lol3:

Quel est l'énoncé exact ?
Tu ne peux pas calculer l'aire d'un cercle à partir de celle de l'octogone inscrit mais tu peux calculer la limite de l'aire d'un polygone inscrit quand son nombre de côtés tend vers l'infini

[mickheavy]

sin(angle) = coté_opposé / hypoténuse
Ici, OA est l'hypotenuse du triangle OAI rectangle en I.
hypoténuse = coté_opposé / sin(angle)

Courage.

Merci,on ne m'avais pas donner la formule de l'hypo,normal ke je ne comprenais rien.

[loxaxs]

je ne comprends pas ...
Pq le sinus ? de l'angle O = 22,5° ... donc sin O = 0,3826 degré ou mètres ??
Et tu fais quoi après avec ça ?? Comment as tu trouver le rayon ??

En faite, l'angle AOB = 45° or l'angle AOI = AOB/2 (car I est milieu de [AB]) donc AOI = 22,5°
Voila
...
Dans le cas présent, l'hypoténuse c'est OA, c'est-à-dire que le rayon, c'est l'hypoténuse.

Tu connais la relation :
> sin(a) = opp / hyp
avec
> a : l'angle considéré, ici c'est AOI. et AOI = 45°/2, AOI = 22,5°
> opp : le coté_opposé_à_l'angle (ici IA, et IA = AB/2, IA = 38,65m)
> hyp : l'hypoténuse (ici, OA: le rayon)
comme on connais "opp" et "sin(a)", mais que l'on cherche "hyp"
On isole "hyp" dans la relation :
hyp = opp / sin(a)
hyp = 38.65 / sin(22.5)
...

Allez!

P.S: le résultat de sin(angle), est un coefficient. Il n'a donc pas d'unité.
et donc sin(O) n'a pas d'unité.

[mickheavy]

Si j'ai bien compris.

Triangle OAI
Angle O = 22,5°
Coté AI = 38,65 m
Sin de l'angle O = sin 22,5 = 0,3826
Hypo de l'angle O = coté IA = 38,65 / sin = 0,3826 = 101,0193
rayon du cercle = 101,0193
Aire cercle = R² x Pi = 32,059 m²