Aïe aïe aïe !!!

[bouilledange]

Bonjour j'ai un problème j'arrive pas à résoudre mon exercice aidez moi svp !!! merci d'avance

ps: je note vectAB le vecteur AB

ABCD un rectancle de centre 0 tel que AB=8 et AD=6
Le but de cet exercice est de trouver l'ensemble E des points M tel que les vecteurs 3vectMA + 2vectMC et 2vectMA + 3vectMC soient orthogonaux.

1ere méthode
Chacun des vecteurs s'exprime par une somme de vecteurs de même originie M.
L'idée est de remplacer chacun par un seul vecteur d'origine M en utilisant le barycentre.
On note I le barycentre de (A,3) et (c,2) et J celui de (A,2) et (C,3)
1. Faite une figure et construisez I et J.
2. a)Justifier l'affirmation suivante:"M appartient à E" équivaut à vectMI.vectMJ=0
b)Déterminer l'ensemble E et construsez E sur la figure de la question 1.

2ème méthode
On note (A;vecti;vectj) le repère orthonormal tel que vectAB=8vectiet vectAD=6vectj
Le point M a pour coordonnées (x;y)
1.Calculez en fonction de x et y les coordonnées de 3vectMA+2vectMC et 2vectMA+3vectMC
2. a)Justifier l'affirmation: "M(x,y) appartient à E" équivaut à x²+y²-8x-6y+24=0
b)Déduisez-en que l'ensemble est un cercle que vous préciserez

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Pour l'instant je me suis juste attaquée à la première méthode.
1) comme I est le barycentre de (A,3) et (c,2)
vectAI=2/5vectAC
et comme J est le barycentre (A,2) et (C,3)
vectAJ=3/5vectAC
On remarque que I et J sont sur AC et symétrique par rapport à 0

2) je bloque mais j'ai cherché des longueurs AC, AI, CJ, IJ, AJ
pythagore dans ADC
AC²=AD²+DC²
AC²=8²+6²
AC²=100
AC=10

AI=2/5AC donc AI=2/5*100=4
AJ=3/5AC donc AJ=3/5*100=6

CJ= AC-AJ=10-4=6
d'où CJ=AI

IJ=AC-AI-CJ=10-4-4=2
d'où OI=OJ car AI=CJ et A,I,J,C sont alogniés
OI=OJ=1

[Ju.]

2. a)Justifier l'affirmation suivante:"M appartient à E" équivaut à vectMI.vectMJ=0

d'aprés la def de E.
d'aprés def des barycentre I et J.

b)D'aprés ce que l'on vient de prouver au a), E est l'ensemble des points M tels que i.e. le cercle de diametre [IJ]

2 éme méthode :
simple calcul sachant que où A(0,0) M(x,y) B(8,0) D(0,6) C(8,6)...

Bon courage

[bouilledange]

pour la méthode 1 il faut juste dire ce que tu as écrit ?
mes calculs servaient donc à rien ?

j'essaye la méthode 2

[Ju.]

Il faut utiliser la methode des vecteurs.Ce que j'ai ecrit suffit mais il est important que tu comprenne le raisonnement.Est ce le cas ?
On remplace les relations barycentrique trouvée avant:

Si I est le barycentre de (A,3) (c,2) alors

[bouilledange]

pour la méthode 2

A(0,0)
B(8,0)
C(8,-6)
D(-6,0)
M(x,y)

vectMA(xA-xM;yA-yM)
vectMA(0-x;0-y)
vectMA(-x,-y)

vectMC(xC-xM;yC-yM)
vectMC(8-x;-6-y)

3vectMA+2vectMC=3(-x;-y)+2(8-x;-6-y)
=(-3x;-3y)+(16-2x;-18-2y)

2vectMA+3vectMC=2(-x;-y)+3(8-x;-6-x)
=(-2x;-2y)+(24-3x;-18-3y)

c'est ça ?

[bouilledange]

oui oui c'est le cas
c'est écrit dans l'énoncée: l'ensemble E des points M tel que les vecteurs 3vectMA + 2vectMC et 2vectMA + 3vectMC soient orthogonaux.
c'est à dire que
(3vectMA + 2vectMC).(2vectMA + 3vectMC)=0 car on sait que si un produit scalaire est égal à 0 les vecteurs sont orthogonaux
et comme on a vectMI.vectMJ=0
ça veut dire que E=(3vectMA + 2vectMC).(2vectMA + 3vectMC)=0
E=vectMI.vectMJ=0
et l'ensemble E des points M est le cercle de rayon [IO]

[Ju.]

pour la méthode 2

A(0,0)
B(8,0)
C(8,-6)
D(-6,0)
M(x,y)

vectMA(xA-xM;yA-yM)
vectMA(0-x;0-y)
vectMA(-x,-y)

vectMC(xC-xM;yC-yM)
vectMC(8-x;-6-y)

3vectMA+2vectMC=3(-x;-y)+2(8-x;-6-y)
=(-3x;-3y)+(16-2x;-18-2y)

2vectMA+3vectMC=2(-x;-y)+3(8-x;-6-x)
=(-2x;-2y)+(24-3x;-18-3y)

c'est ça ?

continue le calcul jusqu'au bout en ajoutant les coordonnées entre elles

oui apres m appartient a E est equivalent à produit scalaire (..;..).(..;..)=0
Je te laisse le soin de finir le developpement