Aide pour les suites définie par récurrence

[zara]

salut à tous

j'ai un tp de math à faire et je bloque

soit Un = 1/n sommes k(k-1)
on me demande d'afficher les 30 premiers termes de la suite Un .

puis j'affiche les 5 premiers termes de Vn=3Un+1

V1=4
V2=9
V3=16
V4=25
V5=36

puis on me demande de proposer une expression de Vn en fonction de n et en déduir une expression de Un en fonction de n .

je bloque je voulais prouver que Vn est geométrique ou arithmétique mais j'arrive pas à voir la raison ;

SVP SI QUELQU'un peut m'aider .
merci

[Huppasacee]

soit Un = 1/n sommes k(k-1)

Bonsoir

Pourrais tu être plus clair(e)?

[zara]

on définit la suite U pour tout entier n , n plus grand ou egal à 1 par
Un= 1/n somme k(k-1) ( excusez moi je ne sais pas faire le signe de la somme avec n au dessus et k=1 au dessous du symbole )

[zara]

svp quelqu'un pourrait m'aider :marteau:

[Huppasacee]

alors , si je comprends bien !
Un= 1/n somme de k = 1 à k =n de [k(k-1) ]
c'est cela ?

[Huppasacee]

tu ne remarques pas que les termes de Vn sont tous des carrés ?

[zara]

oui je ne l'avais pas remarquer mais je vois pas comment sa pourrait m'aider ?

[zara]

je résume ce que j'ai trouvé et j'aimerai avoir une confirmation de mon résultat svp

on définit la suite U pour tout entier n , n plus grand ou egal à 1 par
Un= 1/n somme de k = 1 à k =n de [k(k-1) ]
U1=1
U2=2.67
U3=5
U4=8

soit Vn=3Un+1

V1=4
V2=9
V3=16
V4=25
V5=36

on me demande de proposer une expression de Vn en fonction de n et en déduir une expression de Un en fonction de n

je propose Vn=(n+1)^2

puis Un=(Vn-1)/3
voila svp pourriez-vous me répondre ?
merci

[Huppasacee]

Bonsoir

Tes propositions sont bonnes

Pour Un , remplace Vn
Un = ((n+1)² - 1 )/3

[zara]

merci beaucoup pour votre aide .

maintenant je doit prouver par récurrence que l'expression de Un est valable pour tout n appartient à N*

je propose une démonstration mais je ne suis pas du tout sur de moi :

-Nommons P(n) n plus grand ou egal à 0
-verifions que P(1) est vrai

U1=((1+1)^2-1)/3 =1

donc P(1) est vrai .

-Supposons que P(n) est vrai pour un rang n ; n plus grand ou egal à 1 et demontrons alors que P(n+1) est vrai

admis à prouver

n> 0 Un = ((n+1)^2-1)/3

n>0
n+1>0
n+1>1
(n+1)^2>1
(n+1)^2-1>1-1

((n+1)^2-1) /3 > 0
Un>0

donc pour tout n appartient à N* , Un est vrai

je ne sais pas si j'ai le droit de partir à partir de n>0

voila merci de me répondre

[Huppasacee]

Bonjour

Là , tu as prouvé Un > 0
, pas que Un = ((n+1)²-1)/3 pour tout n > 0!

[zara]

JE sentais bien que c'était faux

vous pouvez me mettre sur la voie svp car je ne vois pas comment je pourrai faire

[Huppasacee]

en transformant un peu , on peut dire que Pn est identique à

n ( n+1)² - 1 ) = 3( somme de k = 1 à n de k(k-1)) , c'est ça ?
écris le membre de gauche pour n+1
développe le

et à droite ,
3 ( somme de k = 1 à n+1 ) de k(k-1) =
3 (somme de 1 à n ) + 3*(n+1)*n

3(somme de 1 à n ) que l'on calcule à partir de Pn
et on essaie de retomber sur le résultat du développement du membre de gauche

[zara]

excusez moi mais je n'arrive pas à comprendre ce que vous essayez de m'expliquer ( faut croire que je suis plus stupide que je le croyais )

[Huppasacee]

n ( n+1)² - 1 ) = 3( somme de k = 1 à n de k(k-1))
c'est ce que nous supposons vrai ( Pn )
ou , si nous utilisons la factorisation du premier membre n ( n+1+1 )(n+1-1)

n² (n+2) = 3( somme de k = 1 à n de k(k-1))

notre but est de démontrer que ( nous écrivons Pn+1 ) :
(n+1)²(n+2) = 3( somme de k = 1 à n+1 de k(k-1))

alors calculons
3( somme de k = 1 à n+1 de k(k-1))
or cette somme est aussi égale à
3( somme de k = 1 à nde k(k-1))+ n(n+1))= 3( somme de k = 1 à n de k(k-1)) + 3 n (n+1)
la valeur de
3( somme de k = 1 à n de k(k-1)) en fonction de n nous est donnée par Pn ( soit n² (n+2))

[zara]

merci beaucoup pour votre aide

et joyeux noËl !

[Huppasacee]

Bonsoir

Tes propositions sont bonnes

Pour Un , remplace Vn
Un = ((n+1)² - 1 )/3

Bonsoir

excuse moi
je t'ai donné cette réponse sans vérifier si les termes de Un et Vn étaient exacts .
Je me suis fié à tes résultats

Or , la démonstration par récurrence ne marche pas avec ces expressions .

Et là , je m'aperçois que tes U1 , U2 etc .. à revoir !

U1 = somme de k = 1 à 1 de(k-1) k
donc 0*1 = 0 Donc V1 = 3*0 +1

U2 = 1/2( 0*1 + 1*2 ) =1 , soit V2 = 4

U3 = 1/3 ( 0*1 + 1*2 + 2*3) = 8/3 doncV3 = 9

donc la véritable proposition est :

Vn = n²

et Un = (n²-1)/3

et là , la vérification par la démonstration par récurrence marche


Pn :

(n²-1)/3 = 1/n ( somme de k = 1 à n de (k-1) k)
donc

n(n²-1) = 3 ( somme de ....) supposée vraie

il faut démontrer alors que

(n+1) ((n+1)² -1) = 3 ( somme de k = 1 à (n+1) de k(k-1))
ou :
(n+1) ((n+1)² -1) = 3 ( somme de k = 1 à n de k(k-1)) + n(n+1) )
or si nous supposons Pn vraie :
n(n²-1) = 3 ( somme de k = 1 à n de (k-1) k)
développons la partie de gauche et celle de droite
et on remarque qu'elles sont égales

[zara]

n(n²-1) = 3 ( somme de k = 1 à n de (k-1) k)
développons la partie de gauche et celle de droite
et on remarque qu'elles sont égales

je dévellope les 2 parties et je ne vois pas qu'elles sont egales :


n(n²-1)= n^3 - n

3 ( somme de k = 1 à n de (k-1) k)= 3 (somme de k = 1 à n de k^2-k )


de plus normalement je part de P(n) pour prouver P(n+1)

le fait qu'elles sont egales ne prouve pas P(n+1)

je comprend pas trés bien ; ( au fait merci j'étaits complétement à coté de la plaque ) .

[Huppasacee]

Calculons
3 ( somme de k = 1 à (n+1) de k(k-1))

que nous pouvons séparer en 2 parties , celle allant jusqu'à n + le terme supplémentaire
donc
3 ( somme de k = 1 à n de k(k-1) + n(n+1) )
= 3 ( somme de k = 1 à n de k(k-1)) +3 n(n+1) )
Or d'après Pn , la première partie est égale à
n(n²-1)
donc le total fait :

n^3 - n + 3 n² + 3n

n^3 + 3n² + 2n

ceci était en partant de Pn,


et maintenant développons
(n+1) ((n+1)² -1)
(n+1)( n²+2n)
n^3 +n²+2n²+2n

n^3 + 3n² + 2n

donc nous avons bien
(n+1) ((n+1)² -1) = 3 ( somme de k = 1 à (n+1) de k(k-1))
Pn+1 est donc vraie

[zara]

merci pour votre aide .