Aide pour inverser une formule

[trukker]

Bonjour,

Pour développer un programme, j'ai besoin d'inverser un formule mathématique.

Ayant un niveau Bac Pro et ayant terminé mes étude il y a 20 ans , j'en suis incapable.

Voici la formule :

y = R * ln(tan(lat/2 + PI/4))

y : coordonnée d'un point à l'écran
R : le rayon de la terre (rayon équatorial 6378137)
ln : logarithme neperrien ou naturel (je n'ai pas étudié les logarithmes)
lat : la latitude
PI : Pi (3.1416....)

j'aimerai retrouver la latitude à partir de y.

Je vous remercie pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

Pour développer un programme, j'ai besoin d'inverser un formule mathématique.

Ayant un niveau Bac Pro et ayant terminé mes étude il y a 20 ans , j'en suis incapable.

Voici la formule :

y = R * ln(tan(lat/2 + PI/4))

y : coordonnée d'un point à l'écran
R : le rayon de la terre (rayon équatorial)
ln : logarithme neperrien ou naturel (je n'ai pas étudié les logarithmes)
lat : la latitude
PI : Pi (3.1416....)

j'aimerai retrouver la latitude à partir de y.

Je vous remercie pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

Salut,
Le but est d'annuler successivement les termes autour de la variable qui nous intéresse.
Ici, on divise tout d'abord des deux côtés par R pour le faire disparaitre à droite.
y/R= ln(tan(lat/2 + PI/4))
Ensuite on applique l'exponentielle des deux côtés :
exp(y/R)=tan(lat/2 + Pi/4)
Puis on applique arctan des deux côtés, classiquement :
arctan(exp(y/R))=lat/2 + Pi/4
Puis : lat/2=arctan(exp(y/R)) - Pi/4
D'où :
Lat=2arctan(exp(y/R)) - Pi/2

edit : la prochaine fois que tu auras affaire à des cas comme ça, il te faudra connaitre les bijections réciproques de fonctions remarquables. En effet, fof^{-1}=f(f^{-1})=Id où f^{-1} est la bijection réciproque de f et Id est l'identité.
Il te faudra ensuite maitriser les simplifications d'expressions.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Par pure curiosité, j'aimerais bien savoir ce que représente cette formule.
Quelle est l'origine des latitudes ? l'équateur comme d'habitude ? Il ne faut pas oublier de la transformer en radians dans le formule Y=f(lat) et de savoir que lat=g(Y) est en radians.

[trukker]

Salut,
Le but est d'annuler successivement les termes autour de la variable qui nous intéresse.
Ici, on divise tout d'abord des deux côtés par R pour le faire disparaitre à droite.
y/R= ln(tan(lat/2 + PI/4))
Ensuite on applique l'exponentielle des deux côtés :
exp(y/R)=tan(lat/2 + Pi/4)
Puis on applique arctan des deux côtés, classiquement :
arctan(exp(y/R))=lat/2 + Pi/4
Puis : lat/2=arctan(exp(y/R)) - Pi/4
D'où :
Lat=2arctan(exp(y/R)) - Pi/2

edit : la prochaine fois que tu auras affaire à des cas comme ça, il te faudra connaitre les bijections réciproques de fonctions remarquables. En effet, fof^{-1}=f(f^{-1})=Id où f^{-1} est la bijection réciproque de f et Id est l'identité.
Il te faudra ensuite maitriser les simplifications d'expressions.

Je te remercie pour cette réponse.

De plus ta réponse est expliquée ce qui me permettra la prochaine fois d'essayer de trouver la solution tout seul.

"bijections réciproques de fonctions remarquables" :doh: C'est un peu du chinois pour moi, j'ai un niveau Bac Pro et même les exponentiels, je ne crois pas les avoir vu en cour.
Mais tu as bien fais de m'en parler je vais essayer de les étudier.

Encore une fois merci.

[trukker]

Bonjour,
Par pure curiosité, j'aimerais bien savoir ce que représente cette formule.
Quelle est l'origine des latitudes ? l'équateur comme d'habitude ? Il ne faut pas oublier de la transformer en radians dans le formule Y=f(lat) et de savoir que lat=g(Y) est en radians.

Bonsoir,

C'est une latitude en degrés, projection Mercator qui est transformée en radians avant d'appliquer cette formules.

Merci d'avoir rappelé que la formule s'applique aux radians, j'avais oublié de le préciser.

[sylvainc2]

La fonction ln(tan(lat/2 + PI/4)) s'appelle aussi la fonction de Gudermann inverse. Pour l'inverser, on peut donc utiliser la fonction de Gudermann:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Gudermannien

Par exemple: si on a t=arg gd(z) alors z = gd(t), et pour calculer gd(t) on peut utiliser z = arcsin(tanh(t)), ou une des autres formules mentionnées dans l'article wiki.

[trukker]

La fonction ln(tan(lat/2 + PI/4)) s'appelle aussi la fonction de Gudermann inverse. Pour l'inverser, on peut donc utiliser la fonction de Gudermann:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Gudermannien

Par exemple: si on a t=arg gd(z) alors z = gd(t), et pour calculer gd(t) on peut utiliser z = arcsin(tanh(t)), ou une des autres formules mentionnées dans l'article wiki.

J'ai cliqué sur le lien et j'ai cru que j'étais arrivé sur un site en chinois. :ptdr:

Et puis en y regardant de plus près c’ était bien la page en français.

Merci pour le lien, je pense qu'il me sera utile.

[Dlzlogic]

La fonction ln(tan(lat/2 + PI/4)) s'appelle aussi la fonction de Gudermann inverse. Pour l'inverser, on peut donc utiliser la fonction de Gudermann:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Gudermannien

Par exemple: si on a t=arg gd(z) alors z = gd(t), et pour calculer gd(t) on peut utiliser z = arcsin(tanh(t)), ou une des autres formules mentionnées dans l'article wiki.

Ben, oui, j'ai honte, c'est écrit en toutes lettres dans mon cours. :hum: C'est la formule de la projection transverse. Elle est très utilisée en navigation.