Aide pour un devoir maison

[Proriko]

Bonsoir ,j'aimerais un peu t'aide pour mon devoir maison .
Mon Dm compte plusieurs questions mais j'aimerais les traiter chacune leur tour.
Merci de l'aide que vous pourriez m'apporter

(Un) définie par U0=-1 et Un+1 = [3Un+4] / [Un+3] pour n appartient à N
Cette suite définie par récurrence Un+1=f(Un) ou f est une fonction définie pour x différent de -3 :

f(x) [3x+4] / [x+3]

a) Vérifier que pour tout x différent -3 on a f(x)=3-(5/x+3)

Je ne sais pas comment faire ? Il faut réduire?

[titine]

Bonsoir ,j'aimerais un peu t'aide pour mon devoir maison .
Mon Dm compte plusieurs questions mais j'aimerais les traiter chacune leur tour.
Merci de l'aide que vous pourriez m'apporter

(Un) définie par U0=-1 et Un+1 = [3Un+4] / [Un+3] pour n appartient à N
Cette suite définie par récurrence Un+1=f(Un) ou f est une fonction définie pour x différent de -3 :

f(x) [3x+4] / [x+3]

a) Vérifier que pour tout x différent -3 on a f(x)=3-(5/x+3)

Je ne sais pas comment faire ? Il faut réduire?

Oui, il suffit de réduire au même dénominateur 3 - 5/(x+3) :
3 - 5/(x-3) = ......../(x-3) - 5/(x-3) = ........................................... = (3x+4)/(x+3) = f(x)

[Proriko]

3/(x-3) - 5/(x-3) = [3/(x-3) - 5/(x-3) ]*(x-3) = (x-3)*(3-5)=(3x-5x)(-9-15)=(-2x)(-24)
J'arrive à ça

[Proriko]

Dans l'autre sens :
(3x+4)/(x+3) = (3x+4)*(x+3) = 3x²+9x+4x+12 =3x²+13x+12

[titine]

Comment fais tu 3 - 5/4 ?

[Proriko]

Ou ça ? 3-5/4 = 7/4

[titine]

Ou ça ? 3-5/4 = 7/4

Oui et bin c'est pareille !
3 - 5/4 = 3/1 - 5/4 = (3*4)/4 - 5/4 = 12/4 - 5/4 = 7/4
3 - 5/(x+3) = 3/1 - 5/(x+3) = 3(x+3)/(x+3) - 5/(x+3) = .............

[Proriko]

[3x+9/(x+3)] - [5/(x+3)] = 3x+4 / (x+3)

[Proriko]

Je suppose que c'est ça donc ? j'aimerais aussi préciser que les profs enlèvent des points pour les petites choses que l'on ne précise pas . Est ce que je dois donner des détails pour vérifier mon calcul

ex:si l'énoncé avait été donné , si je n'avais pas préciser que x différent de -3 j'aurai perdu 0
0.25

[Sylviel]

[(3x+9)/(x+3)] - [5/(x+3)] = (3x+4 )/ (x+3)

Là c'est mieux.

Oui, c'est bien qu'ils enlèvent des points si tu ne précise pas que x doit être différent de -3. Et 0.25 c'est gentil, plus tard ça peut valoir beaucoup plus.

[Proriko]

Très bien , je ne dois donc rien préciser de plus .
Merci de m'avoir aidé jusque là .
b)Démontrer que si x appartient ]-2;2[ f(x) appartient à ]-2;2[
Ca ne me semble pas foufou , il me suffit de remplacer x par 2 et -2
ainsi f(-2)=-2 et f(2)=2 donc f(x) appartient ]-2;2[
Je ne pense pas devoir préciser des choses en plus et ne perdrait donc pas de point je l'espère .

c)En déduire que Un existe pour tout n appartenant à N
Là je ne sais pas du tout comment le démontrer .

[Sylviel]

Ca ne me semble pas foufou , il me suffit de remplacer x par 2 et -2
ainsi f(-2)=-2 et f(2)=2 donc f(x) appartient ]-2;2[

Donc je considère la fonction h(x)=x². h(-2)=4, h(2)=4 donc pour x entre 2 et -2 h(x) appartient à ]4,4[ :briques:

[Proriko]

Ah non ...
Je vois pas vraiment alors ... enfin je sais que si x=2 ou x=-2 l'équation 5/x+3 sera égal à 1 donc 3-1 = 2

[Sylviel]

As-tu vu les dérivées ?

[Sylviel]

Ah non, ce n'est pas nécessaire. Juste avec l'expression obtenue en a) tu peux t'en sortir.

Pour cela il faut partir de (par exemple)
x < 2
puis transformer l'inéquation jusqu'à avoir, à gauche f(x) (sous la forme de a)

[Proriko]

Suis-je bête...

J'arrive à 3-5/x+3 < 2

[Sylviel]

Il manque les parenthèses.

Je voudrais voir les étapes car je soupçonne une erreur.

[Proriko]

x<2
x+3<5
5/(x+3)>5/5
3-(5/(x+3)<3-(5/5)
3-(5/(x+3) < 2

[Sylviel]

Ok c'est bien. Maintenant tu fais exactement pareil pour l'autre inégalité.

[Proriko]

x<-2
x+3<1
5/(x+3)>5
3-(5/(x+3)<-2

Okkkk ! Merci de m'avoir rectifié !

En déduire que Un existe pour tout n appartenant à N

Euh .. tout ce qui me passe par l'esprit et de dire que Un existe tant que Un différent de -3