Aide Devoir Maison Croissant décroissant

[Damien42530]

Bonjour , je bloque completement sur un exercices et j'aurais besoin d'aide donc voila .


Restitution organisée des connaissances
On suppose connues les propriétés suivantes .

*Pour tous réels a,b et k,
Si aSi a -b

*La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+infini[ .

Soit f une fonction à valeurs strictement positives, définie sur R ? On définit une autre fonction g sur R par : g(x) = 1- 1/f(x).

A) Montrer que, si f est strictement croissante sur un intervalle I,alors g est strictement croissante sur I .

B) Montrer que, si f est strictement décroissante sur un Intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I .

Merci d'avance .

[sylvainp]

Salut,

Si a -b
La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+infini[ .

Il faut que tu te serves de ces trois infos pour prouver ce qui est demandé. Le A) d'abord :

g(x)= 1- 1/f(x). On va d'abord regarder si 1/f(x) est croissante ou décroissante, puis - 1/f(x), et enfin 1- 1/f(x), c'est à dire g tout entier.

f est strictement croissante sur l'intervalle I, ça veut dire que pour a, b appartenants à I tels que a1/b (déf fonction décroissante)

Tu sais que f(a)<f(b) (car f est strictement croissante sur I), que peux-tu dire de 1/f(a) par rapport à 1/f(b) , lequel est supérieur à l'autre? ce qui veut dire que 1/f(x) est croissante ou décroissante?

Essaie de faire un raisonnement similaire pour - 1/f(x).

[Carpate]

Bonjour , je bloque completement sur un exercices et j'aurais besoin d'aide donc voila .


Restitution organisée des connaissances
On suppose connues les propriétés suivantes .

*Pour tous réels a,b et k,
Si a -b

*La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+infini[ .

Soit f une fonction à valeurs strictement positives, définie sur R ? On définit une autre fonction g sur R par : g(x) = 1- 1/f(x).

A) Montrer que, si f est strictement croissante sur un intervalle I,alors g est strictement croissante sur I .
\frac{h(a)-h(b)}{a-b} >0
B) Montrer que, si f est strictement décroissante sur un Intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I .

Merci d'avance .

Utilise la définition d'une fonction croissante : h sur un intervalle I
Pour , , appliquée à la fonction g(x)

[Damien42530]

euh ...

1/f(a) < 1/f(b) Ce qui veut dire que 1/f(x) est croissant non ?

[Damien42530]

Est-ce juste ?

[sylvainp]

Salut,

1/f(a) 1/b (déf fonction décroissante)

donc si f(a) 1/f(b)

en conclusion la fonction x->1/f(x) est décroissante.

Il faut ensuite montrer que le fait de multiplier par -1 change le sens de variation, c'est à dire que la fonction -1/f(x) est croissante.
Enfin le fait d'ajouter 1 ne change rien au sens de variation.

Donc g est bien croissante.

[Damien42530]

Donc La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+infini[, ce qui veut dire que pour a, b appartenants à ]0;+infini[ tels que a1/b car :

Soit u une fonction définie sur un intevalle I et ne s'annulant pas sur I. Les fonctions u et 1/u ont des sens de variations contraires sur I .(def)

donc si f(a) 1/f(b)

en conclusion la fonction x->1/f(x) est décroissante.

Soient f et g deux fonctions définies sur D c R . la fonction produit de f et g est la fonction, notée (f x g), définie sur D par : (f x g)(x) = f(x) x g(x) . (def)

Donc : .......... aucune idée de se que sa donne . le fait de multiplier par -1 change le sens de variation, c'est à dire que la fonction -1/f(x) est croissante.
Enfin le fait d'ajouter 1 ne change rien au sens de variation.

Donc g est bien croissante.

Est-ce que sa pourrait aller ? et pour les pointillés que j'ai mis , que dois-je mettre ? Merci d'avance

[sylvainp]

Soit u une fonction définie sur un intevalle I et ne s'annulant pas sur I. Les fonctions u et 1/u ont des sens de variations contraires sur I .(def)

donc si f(a) 1/f(b)

en conclusion la fonction x->1/f(x) est décroissante.

Ok super !

Soient f et g deux fonctions définies sur D c R . la fonction produit de f et g est la fonction, notée (f x g), définie sur D par : (f x g)(x) = f(x) x g(x) . (def)

En l'occurence quand tu multiplies par -1 ce n'est pas le produit d'une fonction par une autre. Mais en effet multiplier par -1 change le sens de variation :

Si a -b (change l'ordre)

donné dans l'énoncé.

On a montré avant que si a 1/f(b)

donc si 1/f(a) > 1/f(b) alors -1/f(a) -1/f(x), on a prouvé que :

si a<b alors -1/f(a) < -1/f(b) et ça c'est la définition d'une fonction croissante.

[Damien42530]

Donc tout y est pour repondre a la question ?

[sylvainp]

oui, en ajoutant à la fin que l'addition ne change pas l'ordre

Si a<b alors a+k<b+k

Le principal est que tu saches réécrire à ta manière avec les bons arguments, pas de recopier tel quel bien sûr

[Damien42530]

Donc pour la question b) qui me semble etre l'inverse :

b) Montrer que, si f est strictement décroissante sur un intervalle I, almors g est strictement décroissante sur I .

Donc la fonction inverse est strictement croissante sur ]0;+infini[, ce qui veut dire que pour a,b appartenants à ]0;+infini[ tels que a>b alors 1/a<1/b car :

Soit u une fonction définie que l'intervalle I et ne s'annulant pas sur I. Les fonctions u et 1/u ont des sens de variations contraires sur I .

En conclusion la fonction x ------> 1/f(x) est croissante .

Mais l'effet de multiplier par -1 change le sens de variation car si a>b alors -a<-b .

Donc comme on a montrer que si a>b alors f(a)>f(b) et aussi 1/f(a) < 1/f(b) alors -1/f(a) > -1/f(b) car on change l'ordre .

Donc pour la fonction x -----> -1/f(x), on a prouvé que si a>b alors -1/f(a) > -1/f(b) et que la fonction est décroissante .

Puis l'addition ne change pas l'ordre car si a>b alors a+k>b+k .


Voila est-ce juste ? sinon pourquoi ? Merci d'avance .

[sylvainp]

Salut, quelques erreurs dans l'écriture des ab alors 1/a 1/f(x) est croissante .

Mais l'effet de multiplier par -1 change le sens de variation car si a>b alors -ab alors f(a)>f(b) et aussi 1/f(a) -1/f(b) car on change l'ordre . [/quote]
non f est décroissante donc si a>b, alors f(a) 1/f(b) alors -1/f(a) -1/f(x), on a prouvé que si a>b alors -1/f(a) > -1/f(b) et que la fonction est décroissante .[/quote]
Donc pour la fonction x -----> -1/f(x), on a prouvé que si a>b alors -1/f(a) < -1/f(b) et que la fonction est donc décroissante.

[Damien42530]

Merci beaucoup pour la correction des petiotes erreurs qu'ils restaient . Les trois dernières question de mon exercices sont :

Soit g définie sur R par : g(x) = 1 - 1/1+x². On note C la courbe représentative de g dans un repère orthonormé (0;i,j).

1)Dresser le tableau de variation de g sur R .

Je n'arrive pas à faire des tableau de variation et je ne sais jamais quel valeur prendre , pourriez-vous m'aider ?

Les deux autres questions coules de source une fois le tableau de variation fait docn j'aimerais pourvopir faire ce tableau . Merci d'avance .

[sylvainp]

g(x) = 1 - 1/1+x²

C'est assez sympa comme méthode c'est une application de ce qui est fait avant. Avec g(x) = 1- 1/f(x) et f(x)=1+x².

A) Montrer que, si f est strictement croissante sur un intervalle I,alors g est strictement croissante sur I .

B) Montrer que, si f est strictement décroissante sur un Intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I .

Donc si 1+x² est croissant sur un intervalle, alors g est croissante sur l'intervalle, ou bien si 1+x² est décroissant etc.

Donc LA question c'est 1+x² ça varie comment? Tu connais les variations de x² ? (une parabole). Et rappelle toi :

Enfin le fait d'ajouter 1 ne change rien au sens de variation.

Tu as donc les variations de 1+x² et donc de g.

[Damien42530]

Merci énormement pour tout mais je ne comprend vraiment rien du tout au tableau de variation vraiment désolée .