Aide des concours

[zerow2001]

Salut !
je vais passer un concours QCM après 20 jours et j'ai besoin de votre aide parceque le concours ne demande pas la rédaction ou bien la methode, c'est pour cela j'ai besoin de quelques astuces pour calculer les intégrales facilement et les limites svp aidez moi donnez moi avec quelques astuces
si chacun de vous donne un seul astuce, ca va etre gentil parceque je connais plusieurs etudiants qui sont besoin de votre aide
Merci beaucoup
Exemple d'un épreuve : http://www.ensa.ac.ma/docs/epreuves/enn ... e_2017.pdf

[Lostounet]

Salut,

Pour les limites tu peux rapidement appliquer la règle de l'Hopital si tu as une forme 0/0.

Pour les intégrales il n'y a pas de règle universelle pour toutes les intégrales, ça dépend... Des fois tu peux éliminer certaines réponses et des fois tu ne peux pas. Mais bon il y a quelques techniques classiques comme:
(Exemples de ton sujet)

Par exemple pour calculer l'intégrale de (cos(x))^7 tu peux utiliser cos(x) = (exp(i*x) + exp(-ix))/2
Et donc cos^7(x) = 1/2^7 * (exp(ix) + exp(-ix))^7
Puis développer ( combien de temps as-tu par question?). On trouve 16/35

Pour la deuxième tu peux remarquer:
(x - x^3)^(1/3) / x^4 = (x - x^3)^(1/3)/x^(12/3)
= [(x - x^3)/x^12]^(1/3)
= [x^(-11) - x(-9)]^(1/3)
= [x^(-9)* x(-2) - x^(-9)]^(1/3)
= x^(-9/3) [x^(-2) - 1]^(1/3)
= x^(-3) * (x^(-2) - 1)^(1/3)

Du coup tu peux poser u = 1/x^2
Donc du = -2 x^(-3) dx

Ce qui te fait:
= -1/2(u - 1)^(1/3) du
Puis tu intègres ça pour trouver C) = 6


Pour la troisième, tu peux tenter une intégration par parties avec
u'(x) = 1/(x + 1)^2
v(x) = x*e^(x)

Donc u(x) = -1/(x + 1)
v'(x) = e^(x)*(x + 1)

Alors intégrale de(u'*v) = [uv] - intégrale(v'u)
= [-x e^(x)]/(x + 1) - intégrale de (e^x)


Bon c'est des intégrales un peu chiantes (surtout si on arrive pas à deviner la réponse) donc il vaut mieux aller chercher les questions faciles et rapides d'abord ...

[aymanemaysae]

Bonjour ;

La limite quand x tend vers - 1 de (x³ + x² - x - 1)/(x³ - 3x - 2) est 0/0 qui est une forme indéterminée .

Pour de telles limite on utilise la règle de l'Hôpital : tu calcules tout d'abord la limite
de (x³ + x² - x - 1)'/(x³ - 3x - 2)' quand x tend vers - 1 qui est la limite de (3x² + 2x - 1)/3x² - 3)
qui donne encore 0/0 qui est une forme indéterminée .

Tu utilises encore une fois la règle de l'Hôpital pour la forme trouvée : (3x² + 2x - 1)/3x² - 3) .
Tu calcules la limite de (3x² + 2x - 1)'/3x² - 3)' quand x tend vers - 1 , qui est la limite quand x
tend vers - 1 de (6x + 2)/(6x) qui est : (- 4)/(- 6) = 4/6 = 2/3 .


Pour l'intégrale de cos^7(x) sur [0 ; pi/2] , on remarque que cos^7(x) = cos(x) . cos^6(x)
= cos(x) . (1 - sin²(x))³ .

Opérons la changement de variable : u = sin(x) , donc on a : du = cos(x) dx avec u appartenant
à [0 ; 1] quand x appartient à [0 ; pi/2] .

int(0 ; pi/2) cos^7(x) dx ) = int(0 ; pi/2) cos(x) . (1 - sin²(x)) dx
= int(0 ; 1) (1 - u²)³ du = int(0 ; 1) (1 - 3u² + 3u^4 - u^6)
= [u - u³ +3/5 u^5 - 1/7 u^7]0^1
=1 - 1 + 3/5 - 1/7
= 16/35 .

[aymanemaysae]

reBonjour ;

Pour les limites qui donnent la forme indéterminée 0/0 , il y a des fois que la règle de l'Hôpital
ne marche pas : à chaque fois on a 0/0 .

Dans notre cas , même si la règle de l'Hôpital marche , on va utiliser une autre méthode :
on remarque le numérateur et le dénominateur sont des multiples de x + 1 car ils s'annulent
pour x = - 1 .

On a : x³ + x² - x - 1 = x²(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x² - 1) = (x + 1)² (x - 1) ;
et x³ - 3x - 2 = x³ - x - 2x - 2 = x(x² - 1) - 2(x + 1) = x(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 2) = (x + 1)(x² - 1 - x - 1) = (x + 1)((x - 1)(x + 1) - (x + 1))
= (x + 1)²(x - 1 - 1) = (x + 1)²(x - 2) .

Donc , la limite de (x³ + x² - x - 1)/(x³ - 3x - 2) quand x tend vers - 1
est la limite quand x tend vers - 1 de ((x + 1)² (x - 1))/((x + 1)²(x - 2)) ;
c - à - d la limite quand x tend vers - 1 de (x - 1)/(x - 2) = (- 2)/(- 3) = 2/3 .

[GaBuZoMeu]

La limite quand x tend vers - 1 de (x³ + x² - x - 1)/(x³ - 3x - 2) est 0/0 qui est une forme indéterminée .

Pour de telles limite on utilise la règle de l'Hôpital

Bof. Quand on a une forme indéterminée 0/0 pour une fraction rationnelle comme ici, un bon réflexe est de SIMPLIFIER la fraction (numérateur et dénominateur ont une racine commune).

et


La question de la limite en de devient alors triviale.

[GaBuZoMeu]

Au temps pour moi, je n'ai fait que répéter le second message d'ayman....