2nde : principe des tiroirs et nombres rationnel

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 16:23

bonjour, je suis en seconde et j'ai un petit problème avec mon dm de maths
je dois prouver à partir du principe des tiroirs (ça c'est compris) que "tout nombre rationnel admet un développement décimal périodique"
le problème c'est que je ne sais pas trop comment faire !!
avez-vous une idée ???
merci !!

par **nox** » 21 Sep 2006, 16:34

bizarre comme question...

tu as d'autres questions avant ?

par **Alexandre_de_Prepanet** » 21 Sep 2006, 16:35

As-tu bien relu les définitions de "nombre rationnel" et de "développement décimal périodique" ?

par **nox** » 21 Sep 2006, 16:35

moi jles connais et je vois quand meme pas ^^

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 16:44

voilà l'énoncé de l'exo :

On se propose de démontrer la caractérisation des nombres rationnels vue en cours "Tout nombre rationnel admet un développement décimal qui devient périodique".

1) Un homme possède 17 tiroirs. Il souhaite placer des livres dedans. A partir de combien de livres est-on certain d'en trouver au moins deux dans un même tiroir ? On appelle principe des tiroirs le fait simple suivant : si on doit placer plus de livres que l'on ne possède de tiroirs, alors forcément deux livres se trouveront dans le même tiroirs.
2) Poser à la main la division de 23 par 7 en allant jusqu'à 12 chiffres après la virgule. Quelle est la période des décimales ?
3) En observant les restes successifs dans cette division, comment peut-on être certain que l'on a trouvé la bonne période ?
4) Plus généralement, si l'on divise un nombre entier a par un entier non-nul b, combien de restes différents peut-on trouver ?
5) Répondre au problème posé en appliquant le principe des tiroirs. On précisera avec soin ce qui joue le rôle des tiroirs et ce qui joue le rôle des livres.
6) Quelle peut être la longueur maximale de la période du développement décimal d'un nombre rationnel ?

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 16:44

et oui j'ai relu les def. tout de même ! ^^

par **nox** » 21 Sep 2006, 16:48

aaaaaaaah c'est quand meme pas pareil que ta question de départ :p

problème posé = question 4 ?

si oui je dirais que les tiroirs sont représentés par les nombres entiers, et les livres par les restes possibles

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 16:51

possible et même certain
mais je n'en suis pas plus avancée à vrai dire ...

par **nox** » 21 Sep 2006, 16:53

nox a écrit:je dirais que les tiroirs sont représentés par les nombres entiers, et les livres par les restes possibles

PS : 'sert pas à grand chose ce raisonnement par les tiroirs. On est encore capable de compter jusqu'à 10...

par **Alexandre_de_Prepanet** » 21 Sep 2006, 16:56

Comment placer 23 livres dans 7 tiroirs ?
Comment placer 20 livres dans 7 tiroirs ?
Comment placer 60 livres dans 7 tiroirs ?
Comment placer 40 livres dans 7 tiroirs ?
...
Tu vois comment faire le lien avec ton exo ?

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 16:57

désolée ^^
mais euh pourquoi on est sûr qu'il n'y a que 10 restes différents ???

par **nox** » 21 Sep 2006, 17:00

ba parce que sinon au bout du 11eme on retombe forcément sur un chiffre qu'on a deja eu, un tiroir deja utilisé...

par **Alexandre_de_Prepanet** » 21 Sep 2006, 17:00

yuna0502 a écrit:désolée ^^
mais euh pourquoi on est sûr qu'il n'y a que 10 restes différents ???

Ca on en est sûr, on n'a pas besoin du raisonnement des tiroirs pour çà.

Par contre, il te permet de trouver la période.

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 17:01

ah c'est pas faux
désolée mais je commence à surchauffer ^^

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 17:03

comment ??

par **nox** » 21 Sep 2006, 17:06

waip mais en meme temps la question c'est : 4) Plus généralement, si l'on divise un nombre entier a par un entier non-nul b, combien de restes différents peut-on trouver ?

donc dans le cas général la réponse est bien 10 et effectivement c'est débile d'utiliser ce principe.
Bon je laisse alexandre gérer ca moi je rentre chez moi :p

par **yuna0502** » 21 Sep 2006, 17:07

oui mais t'en qu'à faire si vous ètes inspirés par la 6) faut pas vous gênez ! ^^

par **rene38** » 21 Sep 2006, 17:52

Salut

nox a écrit:waip mais en meme temps la question c'est : 4) Plus généralement, si l'on divise un nombre entier a par un entier non-nul b, combien de restes différents peut-on trouver ?

donc dans le cas général la réponse est bien 10 et effectivement c'est débile d'utiliser ce principe.
Bon je laisse alexandre gérer ca moi je rentre chez moi :p

Je crains qu'il n'y ait incompréhension :
Si je divise 355 par 113, il n'y a pas 10 restes possibles mais 113 :
0 (la division "se termine), 1, 2, 3, ..., 112.

Si je divise l'entier a par l'entier non nul b, il existe b restes possibles :
0, 1, ..., b-2, b-1

La longueur maximale de la période du développement décimal d'un nombre rationnel a/b est donc b-1 chiffres.

par **euclide** » 21 Sep 2006, 17:53

Non c'est faux pour la question 4. Si on divise un nombre a par un nombre b non nul il n'y a pas 10 restes possibles mais "b" restes possibles qui sont : (0;1;...;b-1) en tout ca fait bien "b" restes possibles.

par **nox** » 21 Sep 2006, 19:01

aaaaaaah je me disais bien que j'avais mal compris :)

merci rene38 de cette (nouvelle) correction

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