2nd degré probleme

[Anonyme]

x appartient a N
demontrer que x(x+1)(x+2)(x+3) est divisible par 24.
voici un probleme que l'on m'a posé pour le vendredi 21 octobre, j'ai beau y réfléchir je n'y arrive pas du tout donc aidez moi s'il vous plait !!

[Prisme]

Tu es en quelle classe ?

[Chimerade]

x appartient a N
demontrer que x(x+1)(x+2)(x+3) est divisible par 24.
voici un probleme que l'on m'a posé pour le vendredi 21 octobre, j'ai beau y réfléchir je n'y arrive pas du tout donc aidez moi s'il vous plait !!

Si tu observes des nombres entiers consécutifs :

37,38,39,40 par exemple tu remarques qu'ils sont alternativement pairs et impairs non ?

Donc il y a forcément deux nombres pairs dans une série de quatre nombres consécutifs. De plus, l'un des deux est forcément divisible par 4 !

Donc, l'un des quatre nombres est de la forme 4p, un autre est de la forme 2q.

Tu peux aussi étudier tous les cas possibles. Par exemple, tu divises x par 4 :

x=4k+r

r ne peut prendre que 4 valeurs différentes possibles : 0,1,2, ou 3.

Si r=0 alors : x=4p, x+1=4p+1, x+2=4p+2, x+3=4p+3
donc : x(x+1)(x+2)(x+3)=4p*(4p+1)*(4p+2)*(4p+3)=8p(4p+1)(2p+1)(4p+3)
Si r=1 alors : x=4p+1, x+1=4p+2, x+2=4p+3, x+3=4p+4
donc : x(x+1)(x+2)(x+3)=(4p+1)*(4p+2)*(4p+3)*(4p+4)=(4p+1)*2*(2p+1)*(4p+3)*4(p+1)=8*(4p+1)*(2p+1)*(4p+3)*(p+1)
Si r=2...
Si r=3...

Cela revient au même : dans tous les cas on voit que x*(x+1)*(x+2)*(x+3) est un multiple de 8 !

Par ailleurs, tu peux faire la même chose avec 3 :

Parmi les 4 nombres x,x+1,x+2,x+3 il y en a forcément au moins un qui est divisible par 3 (il peut y en avoir deux, si x est divisible par 3 alors x+3 aussi, mais cela dépend de x). Par conséquent x(x+1)(x+2)(x+3) est divisible par 3 et par 8. Comme 3 et 8 sont premiers entre eux, x(x+1)(x+2)(x+3) est donc divisible par (3*8) soit par 24 !

[Anonyme]

jsuis en premiere S