par Robic » 21 Mai 2014, 19:23
Bonjour ! Je pense que, il y a bien longtemps, lorsque les gens ont inventé les congruences, ils ont un peu « joué » avec. Par exemple ils ont écrit des tables de multiplication modulo n, pour des n pas trop grands. Ils se sont alors rendu compte que, pour certain n, il manque des nombres dans les tables. Ce qui les a amené à établir des conjectures, puis à les démontrer. Et ainsi de suite. En « jouant » de cette manière, ils ont du se rendre compte que a²+b² ne peut pas être congru à tout et n'importe quoi (selon la valeur choisie de n). Il existe peut-être même un théorème pour ça.
Tiens, un exemple : choisis un n (genre 4 ou 5). Maintenant, pour chaque p compris entre 0 et n-1, calcule la suite des puissances de p : p^0=1, p^1=p, p^2, p^3... Tu vas te rendre compte que la suite est cyclique. Mieux : la « période » du cycle vaut n-1 ou une fraction (la moitié, la tiers, etc.) de n-1. Tu peux même t'amuser à définir une fonction qui, pour tout n, donne la période du cycle. Eh bien tout ça s'étudie dans la cadre d'une des branches mathématiques les plus importantes, mais pas au programme du lycée, la théorie des groupes (plus précisément, ça à voir avec un groupe nommé (Z/nZ)*...) Et je peux te dire qu'il existe des tas de propriétés et théorèmes à ce sujet.
Bref, voici comment le prof a pu deviner qu'il fallait étudier une congruence modulo 8 :
1) Il a trouvé l'énoncé dans un livre (pas forcément avec 2014 d'ailleurs). Si je devais faire un pronostic, je voterais pour cette hypothèse. Mais ça ne fait que déplacer ta question : et l'auteur du livre, il a fait comment ?
2) Il connaît la théorie des groupes (elle est enseignée en licence et on doit avoir au moins une licence pour être prof de maths), donc connaît les propriétés et les théorèmes, et en a trouvé une sur a²+b² qui lui a donné l'idée de construire cet exercice (avec un autre nombre éventuellement). À mon avis, c'est l'hypothèse qui explique pourquoi l'auteur de l'article dont s'est servi le premier livre, référence du second, qui lui même a inspiré le troisième, celui que le prof a consulté, pourquoi cet auteur, disais-je, a eu l'idée de construire cet exercice.)
3) Le prof est parti de 0 : comment trouver a²+b²=2014 ? Avec des congruences ? Ah oui. Mais modulo combien ? Comme j'ai de l'intuition, on va dire module 8... Non, je ne crois pas un instant à cette hypothèse.