2014 est-il une somme de carrés ?

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Lavomatik
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Enregistré le: 21 Mai 2014, 18:22

2014 est-il une somme de carrés ?

par Lavomatik » 21 Mai 2014, 18:30

Bonjour à tous !
Je suis élève de terminale S, spé maths.
Pour nous montrer un usage possible des congruences, le professeur nous a donné comme exemple la démonstration de la proposition suivante :

"Il n'existe pas deux entiers naturels a et b tels que a²+b² = 2014"

Sa démonstration utilise une congruence modulo 8 :
2014 est congru à 6 modulo 8, mais il n'existe pas deux entiers naturels a et b tels que a²+b² soit congru à 6 modulo 8.

Ma question est la suivante : quel raisonnement l'a donc poussé à choisir une congruence modulo 8 ?
Ou plutôt, où a-t-il trouvé le point de départ de sa démonstration ?



Robic
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par Robic » 21 Mai 2014, 19:23

Bonjour ! Je pense que, il y a bien longtemps, lorsque les gens ont inventé les congruences, ils ont un peu « joué » avec. Par exemple ils ont écrit des tables de multiplication modulo n, pour des n pas trop grands. Ils se sont alors rendu compte que, pour certain n, il manque des nombres dans les tables. Ce qui les a amené à établir des conjectures, puis à les démontrer. Et ainsi de suite. En « jouant » de cette manière, ils ont du se rendre compte que a²+b² ne peut pas être congru à tout et n'importe quoi (selon la valeur choisie de n). Il existe peut-être même un théorème pour ça.

Tiens, un exemple : choisis un n (genre 4 ou 5). Maintenant, pour chaque p compris entre 0 et n-1, calcule la suite des puissances de p : p^0=1, p^1=p, p^2, p^3... Tu vas te rendre compte que la suite est cyclique. Mieux : la « période » du cycle vaut n-1 ou une fraction (la moitié, la tiers, etc.) de n-1. Tu peux même t'amuser à définir une fonction qui, pour tout n, donne la période du cycle. Eh bien tout ça s'étudie dans la cadre d'une des branches mathématiques les plus importantes, mais pas au programme du lycée, la théorie des groupes (plus précisément, ça à voir avec un groupe nommé (Z/nZ)*...) Et je peux te dire qu'il existe des tas de propriétés et théorèmes à ce sujet.

Bref, voici comment le prof a pu deviner qu'il fallait étudier une congruence modulo 8 :
1) Il a trouvé l'énoncé dans un livre (pas forcément avec 2014 d'ailleurs). Si je devais faire un pronostic, je voterais pour cette hypothèse. Mais ça ne fait que déplacer ta question : et l'auteur du livre, il a fait comment ?
2) Il connaît la théorie des groupes (elle est enseignée en licence et on doit avoir au moins une licence pour être prof de maths), donc connaît les propriétés et les théorèmes, et en a trouvé une sur a²+b² qui lui a donné l'idée de construire cet exercice (avec un autre nombre éventuellement). À mon avis, c'est l'hypothèse qui explique pourquoi l'auteur de l'article dont s'est servi le premier livre, référence du second, qui lui même a inspiré le troisième, celui que le prof a consulté, pourquoi cet auteur, disais-je, a eu l'idée de construire cet exercice.)
3) Le prof est parti de 0 : comment trouver a²+b²=2014 ? Avec des congruences ? Ah oui. Mais modulo combien ? Comme j'ai de l'intuition, on va dire module 8... Non, je ne crois pas un instant à cette hypothèse.

mathafou
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par mathafou » 21 Mai 2014, 19:38

Bonjour,
Robic a écrit:...Avec des congruences ? Ah oui. Mais modulo combien ? Comme j'ai de l'intuition, on va dire module 8... Non, je ne crois pas un instant à cette hypothèse.
il est parfaitement normal de se dire que a et b ont la même parité (sinon la somme de leurs carré serait un nombre impair)

et on tombe "naturellement" sur des congruences modulo 4 (2²)
comme 2014 n'est pas un multiple de 4, c'est que a et b ne peuvent pas être pairs.
ils seraient donc impairs
chacun de la forme 2k + 1 dont le carré est de la forme 4k(k+1) + 1

et comme k(k+1) est toujours pair, la congruence modulo 8 = 2x4 devient naturelle ... :zen:

maintenant "congruence" est un terme qui peut être ici facilement remplacé par un vocabulaire plus élémentaire avec des simples développements de (2k+1)² etc ...

Lavomatik
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par Lavomatik » 21 Mai 2014, 19:49

Merci pour vos réponses. Ça a moins l'air d'un tour de magie maintenant :we:

Robic
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par Robic » 21 Mai 2014, 20:19

Mathafou : tu as raison ! Je pensais que la question était plus difficile, mais en fait non. Bon, cela dit ma réponse n'est pas idiote non plus, disons qu'elle est adaptée à des questions plus difficiles.

Mortelune
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par Mortelune » 21 Mai 2014, 21:58

Il y a même un théorème qui dit quels entiers sont une somme de deux carrés : Théorème des deux carrés de Fermat sur wiki.

paquito
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par paquito » 23 Mai 2014, 14:57

Dans la recherche des triplets pythagoriques, a, b et c premiers entre eux avec a²+b²=c², on est vite conduit au fait qu'il y en a 2 impairs et un pair; pour éliminer c pair, les congruences modolo 2 ne donnent rien; on passe aux congruences modulo 4 pour trouver une contradiction;
là c'est un peu la même chose;modulo 2, on apprend rien; modulo 4 on élimine le cas a et b pairs; pourquoi ne pas passer au modulo 8 pour voir..

nodjim
Membre Complexe
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par nodjim » 23 Mai 2014, 19:52

2014=p²+q²
p et q pairs ? Non, car les carrés pairs sont divisibles par 4, leur somme aussi, or 2014 n'est pas divisible par 4.
Donc p et q impairs
2014=(2p+1)²+(2q+1)²=4p²+4p+4q²+4q+2
2012=4(p²+q²+p+q)
503=p²+q²+p+q
503=p(p+1)+q(q+1)
p(p+1) est pair
q(q+1) est pair
donc somme paire, ne peut être égale à 503 impair.
Pas de solution

mathafou
Membre Relatif
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par mathafou » 24 Mai 2014, 12:36

nodjim a écrit:2014=p²+q²
p et q pairs ? Non, car les carrés pairs sont divisibles par 4, leur somme aussi, or 2014 n'est pas divisible par 4.
Donc p et q impairs
en toute rigueur tu dois aussi considérer le cas où l'un serait pair et l'autre impair avant de conclure "donc"
l'élimination de ce cas est "triviale" mais il faut le dire tout de même !

 

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