DM 1reS géométrie dans l'espace

[sosodu42]

Bonjour
figure

On a vu que les médianes d'un triangle sont concourantes en l'isobarycentre des trois sommets. Ce problème a pour objectif de démontrer le concours des bissectrices intérieures et des hauteurs d'un triangle.
On pose : A' pied de la hauteur issue de A,
A1 pied de la bissectrice intérieure de l'angle BAC, et a=BC, b=AC, c=AB.

Partie 1
1) le pied de la bissectrice intérieure
on rappelle que tout point de la bissectrice (AA1) est équidistant des côtés (AB) et (Ac) ; d désigne la distance de A1 à la droite (AB).

a)Donner deux expressions de l'aire du triangle AA1B.
b)Donner deux expressions de l'aire du triangle AA1C.
c)En déduire l'égalité A1B/A1C=c/b.
d)Démontrer que A1 est le barycentre de (B,b) et (C,c). (On comparera les directions sens et normes des vecteurs b A1B et c A1C...)

2) le pied de la hauteur
On suppose que les angles du triangle ABC sont aigus. Ainsi, A' est sur le segment [BC] et les tangentes des angles sont strictement positives.

a) Prouver que tan de l'angle B/tan de l'angle C=A'C/A'B.
b) En déduire que A' est le barycentre de (B, tan de l'angle B) et (c, tan de l'angle C). (On comparera les directions sens et normes des vecteurs tan B, vecteur A'B et tan C vecteur A'C...)

Partie 2

1) Concours des bissectrices intérieures
Soit I le barycentre de (A,a), (B,b) et (C,c)

a)Démontrer que le point I appartient à la droite (AA1).
b) Démontrer que les bissectrices du triangle ABC sont concourantes en I, le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

2)Concours des hauteurs

En ne considérant que le cas d'un triangle ABC dont les angles sont aigus, démontrer le concours des hauteurs par un raisonnement analogue au précédent.

Voilà l'énoncé du troisième exercice exo que j'ai à faire ils sont tous difficiles, je suis arrivé à faire les deux premiers exos mais celui-la je n'y arrive s'il vous plait aidez moi. MERCI d'avance.

[uztop]

Bonjour,

est ce que tu pourrais donner les réponses de ce que tu as fait ? Ou au moins montrer que tu as cherché avant de poster

[sosodu42]

dans la partie 1 j'ai fait les questions a) et b) mais pour la c) je trouve A1B/A1C=-c/b. Je n'ai pas trouvé la d).
J'ai fait la question 2°)a mais je n'arrive pas à justifier la b) j'ai mis que tanB*le vecteur A'B=tanC*A'C, les vecteurs A'B et A'C ont comme point commun A' alors A' est le barycentre de (tanB*A'B) et (tanC*A'C).
pour la partie 2 je n'ai fait aucune question pour la 1)a) je pense qu'il faut utiliser le fait que (AA1) est équidistant des côtés (Ab) et (Ac) enfin je ne sais pas trop pour cette partie.

[uztop]

alors pour la D, est ce que tu peux exprimer en termes de vecteurs le fait que A1 est le barycentre de (B,b) et (C,c) ?

[sosodu42]

je peux mettre que les vecteurs bA1B et cA1C ont A1 comme point commun donc que A1 est leur barycentre mais je sais pas si c'est juste de justifier comme ça

[uztop]

euh non c'est pas une justification ça
Comment est ce qu'on écrit le fait que A1 soit le barycentre (avec des vecteurs) ?

[sosodu42]

bA1B+cA1C= o

[sosodu42]

c'est bon j'ai compri

[uztop]

oui, est ce que c'est bien le cas ici ?

[sosodu42]

mais pour la partie 2 je vois vraiment pas comment il faut faire je sais pas ce qu'il faut regarder

[sosodu42]

ben d'après la question 3 se serait le cas