1erS : Homothétie et barycentre

[Bouboul]

Bonjour, voici l'intitulé et la question sur lesquels je bloque:

O et O' sont 2 points distincts du plan.
On désigne par h et h' les homothéties respectives de centres O et O' et de rapports respectifs k et k'.
On suppose que k#1 et k'# 1
M est un point quelconque du plan, M1 est l'image du point M par h et M' celle du point M1 par h'.

Partie A: k x k'#1
1. Exprimer en fonction de k et k' , M1 en tant que barycentre des points O et M.
2. Exprimer, en fonction de k et k', le point M' en tant que barycentre des points O' et M1

Sur ces 2 premières questions je trouve:
1 . OM1 = kOM
donc IM1 = (1-k)IO + (k)IM

2. O'M' = k'O'M1
donc (1-k')M'O' + (k')M'M1

Or dans les 2 questions je dois l'exprimer en fonction des 2 réels k et k'
et je n'y parviens pas. :briques:
Quelqu'un peut m'aider svp ?

[Daragon geoffrey]

de l'énoncé tu déduis : (vecteurs) OM1=k*OM et O'M'=k' * O'M, et de la première égalité tu tires : par chasles : OM1-k(OM1+M1M)=0 (vecteurs), équiv à (k-1)M1O-kM1M=0 qui traduit que M1 est le barycentre des pts O et M affectés respectivement des coeff pondérés (k-1) et -k ! procède de la même manière pour la suite, j'te laisse continuer !

[Bouboul]

Merci pour ta réponse. Je ne suis donc pas obligé de les exprimer entre k et k'.
Je rencontre d'autres problèmes à présent plus loin de l'exercice:

3. En déduire en fonction de k et k' le point M' en tant que barycentre des points O, O' et M.
4. On note E= {(O,k'(1-k)) ; (O', 1-k')}
Justifier que le système E admet un barycentre. On le note C.
5. Déduire que :
M' = Bar {(C, 1-kk') ; (M, kk')}
6. Où est situé précisement le point C?
7. En déduire que CM' = kk' CM
8. On note f=h' o h. Vérifier que: h' o h(M) = M' et préciser la nature de f.

J'ai réussi jusqu'à la question 6). Pour moi C est sur la droite MM' mais il doit avoir une position plus précise puisque j'ai trouvé que :
kk'IC + kk' IM = IM' :hein:
Pour les questions 7 et 8 je pêche complètement. Merci de votre aide.

[Daragon geoffrey]

à partir de 5 tu as : (1-k'k)M'C+k'kM'M=0 (vecteurs), en utikisant chasles : on obtient : (1-k'k')M'C+k'kM'C+k'kCM=0, équiv à M'C+k'kCM=0 équiv à CM'=k'kCM (vecteurs), CQFD ! h'o h désigne la composée de l'homotéthie de centre O et de rappor t k per celle de centre O' et de rapport k' soit encore
f=image de M1 par h' équiv à O'M'=k'*O'M1, qui correspond à ce qui est écrit ds l'énoncé : M' image de M1 par h' (avec o préalable M1 image de M par h)? CQFD ! f est ossi une homotéthie !

[Bouboul]

Merci de votre réponse, cependant je n'ai pas tout compris sur la question 8)
On sait que h(M)=M1
donc je n'arrive pas à déduire à partir de ca que h' o h(M)=M'
Pouvait vous m'éclairer svp ?