DM 1ère S

[Flobobo]

Bonjour, je suis en 1ère S et j'ai un exercice dans mon DM où je reste bloqué, voici l'intitulé de l'exercice:

1) Un cas particulier:
On considère le polynôme : P(x) = 12 + 2x + 7x² + 3x^3 - 2x^4

¤ Montrer que 3 est une racine de ce polynôme.

¤ Montrer que 1/3 est une racine du polynôme Q(x)= 12x^4 + 2x^3 + 7x² + 3x -2

Jusque ici, tout va bien, ca reste assez simple. C'est après que ca devient plus dur:

2) Le cas général :
On considère le polynôme : P(x)= a0 + a1x + a2x² + ............. anx^n

¤On suppose que est une racine non nulle de ce polynôme.
Prouver que 1/;) est une racine du polynôme Q(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + a2x^(n-2) + ............ a(n-1)x + an

¤Que se passe-t-il si est une racine mais que est nulle ?

Je bûche une fois arrivé au premier point de la question 2)
J'ai remarqué qu'il y a une relation avec la question 1) mais je ne vois vraiment pas comment parvenir à prouver cette relation.

Aidez moi svp =D (Je ne cherche pas à avoir la réponse, mais à comprendre comment y parvenir)
Merci d'avance

[Jimm15]

Salut,



Essaie de remplacer par .

[Ericovitchi]

En divisant a0 + a1x + a2x² + ............. anx^n par x^n et en posant X=1/x tu obtiens quel polynôme en X ?

si x est solution du premier alors 1/x est solution du second

[Flobobo]

Merci pour vos réponses. Je vais essayer ca et je vous réponds.

[Flobobo]

Alors j'ai essayé mais je n'ai pas vraiment compris.
Ca ne m'a pas avancé à grand chose, je suis toujours aussi pommé :s

Ps: Désolé pour le double post

[Jimm15]

Ericovitchi préconise de diviser par , de réduire avec des fractions puis de poser et de voir le polynôme que tu obtiens alors au final.

Tu peux aussi partir de , remplacer par , développer un peu, puis tout multiplier par et de voir le polynôme obtenu.

Les deux méthodes sont identiques.

[Flobobo]

Quand vous parlez de diviser P(x), c'est bien diviser P(x) de la question 2) ?

[Jimm15]

Quand vous parlez de diviser P(x), c'est bien diviser P(x) de la question 2) ?

Oui, c’est bien ce polynôme-là.

[Flobobo]

Ok !! Je suis désolé mais ne comprends pas bien l'explication (à croire que je suis bête)

Donc diviser P(x) par x^n ok (je ne comprends pas trop pourquoi faire ca d'ailleurs)
réduire avec des fractions, la je vois pas comment on peut réduire la fraction avec d'autres fractions

[Jimm15]

.

Jusque là, c’est bon ?

[Flobobo]

Ouais la c'est bon !!
J'avais pas trouvé ca déjà :s

[Jimm15]

Es-tu d’accord avec moi pour écrire ?

[Flobobo]

Oui je suis ok avec ca

[Jimm15]

Donc on peut « arranger » la dernière ligne du développement précédent :

.

[Flobobo]

Oui je suis d'accord :)
Et c'est donc la qu'on remplace X par 1/x ?

[Jimm15]

Maintenant, on pose . On obtient quoi ?

[Flobobo]

P(x) = a0X^n + a1x^n-1 + a2x^n-2 + ........ an ?

[Jimm15]

P(x) = a0X^n + a1x^n-1 + a2x^n-2 + ........ an ?

Oui.
Qu’en conclut-on ?

[Flobobo]

Ah ouais on obtient la même chose !!

1/X est racine du polynome Q(x) ?

[Jimm15]

Ah ouais on obtient la même chose !!

1/X est racine du polynome Q(x) ?

Oui, c’est exact.