1ere S - Intersection entre une parabole et une droite tout

[Lowixx]

Bonjour, me voilà de nouveaux sur ce forum pour demander votre aide ! J'ai un problème ouvert à rendre et je bloque. Je rentre de vacances, on est passé sur un nouveaux chapitre en classe et les trinômes me semble déjà loin. :mur:

Voici l'énoncé :
Soit P : y = mx^2 et d : y = mx + 1 (m différent de 0). Pour quelle(s) valeur(s) de m, P et d sont elles tangentes ? En quel point ?

Mon travail :
Je me suis aidé tout d'abord de Géogébra afin de faire une conjecture en représentant graphiquement les deux fonctions et en faisant varier m à l'aide d'un curseur. Géogébra me dit que :

• Quand m 0 il y en a deux

Voilà ma conjecture faite, me reste plus qu'à le démontrer par le calcul. Donc je fais le beau :
Je dis que chercher les intersections de P et de d revient à chercher mx^2 = mx + 1, je compare à zéro et je trouve le trinôme mx^2 - mx - 1, je calcul sont discriminant DELTA, j'obtient m^2 + 4m soit, factorisé, m(m+4) donc j'en déduis que m(m+4)=0 pour m=0 ou pour m=-4.
Et là, trou noir, je me dis que je n'ai pas trouvé des résultat incohérent puisque les nombres 0 et -4 apparaît dans ma conjecture mais je ne sais pas comment aller plus loin. Pourriez vous m'orienter ?

Merci encore une fois de votre aide !

[Carpate]

Bonjour, me voilà de nouveaux sur ce forum pour demander votre aide ! J'ai un problème ouvert à rendre et je bloque. Je rentre de vacances, on est passé sur un nouveaux chapitre en classe et les trinômes me semble déjà loin. :mur:

Voici l'énoncé :
Soit P : y = mx^2 et d : y = mx + 1 (m différent de 0). Pour quelle(s) valeur(s) de m, P et d sont elles tangentes ? En quel point ?

Mon travail :
Je me suis aidé tout d'abord de Géogébra afin de faire une conjecture en représentant graphiquement les deux fonctions et en faisant varier m à l'aide d'un curseur. Géogébra me dit que :

• Quand m 0 il y en a deux

Voilà ma conjecture faite, me reste plus qu'à le démontrer par le calcul. Donc je fais le beau :
Je dis que chercher les intersections de P et de d revient à chercher mx^2 = mx + 1, je compare à zéro et je trouve le trinôme mx^2 - mx - 1, je calcul sont discriminant DELTA, j'obtient m^2 + 4m soit, factorisé, m(m+4) donc j'en déduis que m(m+4)=0 pour m=0 ou pour m=-4.
Et là, trou noir, je me dis que je n'ai pas trouvé des résultat incohérent puisque les nombres 0 et -4 apparaît dans ma conjecture mais je ne sais pas comment aller plus loin. Pourriez vous m'orienter ?

Merci encore une fois de votre aide !

Que signifie géométriquement le fait que le discriminant soit nul ?

[Lowixx]

Géométriquement et généralement, si le discriminent est nul cela signifie que le sommet de la parabole se trouve sur l'axe des abscisse. Donc qu'il y a qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisse.

Géométriquement dans mon cas, si le discriminent est nul cela signifie que il y a qu'un seul point d'intersection entre la parabole P et la droite d.

C'est bien ça que vous attendez ?

EDIT : Je vous ai tutoyé :hum:

[Lostounet]

Hello Lowixx,

Puisque m est non nul par hypothèse, c'est un cas à rejeter: en effet, pour m = 0, il n'y a pas de parabole (c'est une droite y = 0) et la droite est y = 1. Ce cas n'est donc pas à considérer.

Cependant, pour m=-4, y = -4x^2
et y = -4x + 1

4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2.(2x).1 + 1^2 = (2x - 1)^2 admet bien une seule solution ! Tu as donc trouvé le bon résultat.

Mais quel est ce point d'intersection?

[Lowixx]

Bonjour Lostounet, je crois que je ne comprend votre raisonnement... Que ce que (2x - 1)^2 ? Merci !

[Lowixx]

Ah, petite incompréhension de ma part sur le mot tangente !
Corrigez moi si c'est faux : Tangente veut dire se touche en UN SEUL point.

[Lostounet]

On a vu que le cas m = 0 est aberrant (pas de parabole...)

Il reste à voir quel avenir est réservé à la droite et la parabole pour m = -4.
La parabole, d'équation y = mx^2 aurait pour équation y1 = -4x^2

La droite, d'équation y = mx + 1, aurait pour équation y2 = -4x + 1

Et dans ce cas, pour trouver le point d'intersection des deux, je résous y1=y2

Donc -4x^2 = -4x + 1
Je te laisse finir !

EDIT: Oui ! Tangente signifie UN seul point d'intersection: la droite "touche" la courbe sans la couper.

[Lowixx]

On a vu que le cas m = 0 est aberrant (pas de parabole...)

Il reste à voir quel avenir est réservé à la droite et la parabole pour m = -4.
La parabole, d'équation y = mx^2 aurait pour équation y1 = -4x^2

La droite, d'équation y = mx + 1, aurait pour équation y2 = -4x + 1

Et dans ce cas, pour trouver le point d'intersection des deux, je résous y1=y2

Donc -4x^2 = -4x + 1
Je te laisse finir !

EDIT: Oui ! Tangente signifie UN seul point d'intersection: la droite "touche" la courbe sans la couper.

Ah mais le problème est tout de suite plus claire, j'étais parti pour donner tout les points d'intersection ! Je pense que je devrais mieux comprendre votre explication !

EDIT : Effectivement, j'étais perdu, en réalité j'ai déjà répondu à la première partie du problème reste plus qu'a trouver les coordonnées du point d'intersection quand m = -4 !

[Lowixx]

Voilà la suite :

Résoudre -4x^2 = -4x + 1 revient à résoudre -4x^2 + 4x - 1 = 0, je m'aide du discriminant, j'obtient DELTA = 0 ce qui signifie qu'il y a qu'une racine (qu'une intersection), je fais -b/2a je trouve 0.5 donc la coordonnée en abscisse du point d'intersection je remplace x par 0.5 dans -4x^2 + 4x - 1 et je trouve y=1 donc la coordonnée en ordonnée du point d'intersection.

CONCLUSION : La parabole P et la droite d sont tangente pour x = -4, ce point d'intersection à pour coordonnée (0.5 ; -1).

Pas de soucis ?

[Lostounet]

Ton raisonnement est tout à fait correct.

Mais maintenant que tu as appris le Delta, n'oublie pas tes anciens amis qui t'ont toujours soutenu: les identités remarquables.

-4x^2 + 4x - 1 = 0
donc 4x^2 - 4x + 1 = 0
donc (2x)^2 - 2*(2x)*1 + 1^2 = 0
donc (2x - 1)^2 = 0

Donc x = 1/2 !

Et ensuite, on montre que l'ordonnée vaut -1 par exemple en remplaçant dans l'équation de la parabole, y = -4x^2 = -4*0.5^2 = -1
ou dans celle de la droite: y = -4x + 1 = -4*0.5 + 1 = -1 !

C'est normal que les deux donnent la même chose: c'est un point d'intersection ! La parabole et la droite "valent la même chose " pour x = 0.5 !

Donc petit conseil: essaye de ne pas utiliser le delta directement. C'est un outil puissant, donc garde-le en dernier recours.
C'est bien de te souvenir du minimum atteint par la parabole, mais attention à ne pas te tromper de parabole, et surtout attention à ne pas oublier le -b/2a ! Donc si tu sens que tu vas oublier cette relation pendant les vacances d'été, utilise simplement les équations des droites/paraboles pour trouver l'ordonnée raisonne sur les équations !

[Lowixx]

Ton raisonnement est tout à fait correct.

Mais maintenant que tu as appris le Delta, n'oublie pas tes anciens amis qui t'ont toujours soutenu: les identités remarquables.

-4x^2 + 4x - 1 = 0
donc 4x^2 - 4x + 1 = 0
donc (2x)^2 - 2*(2x)*1 + 1^2 = 0
donc (2x - 1)^2 = 0

Donc x = 1/2 !

Et ensuite, on montre que l'ordonnée vaut -1 par exemple en remplaçant dans l'équation de la parabole, y = -4x^2 = -4*0.5^2 = -1
ou dans celle de la droite: y = -4x + 1 = -4*0.5 + 1 = -1 !

C'est normal que les deux donnent la même chose: c'est un point d'intersection ! La parabole et la droite "valent la même chose " pour x = 0.5 !

Donc petit conseil: essaye de ne pas utiliser le delta directement. C'est un outil puissant, donc garde-le en dernier recours.
C'est bien de te souvenir du minimum atteint par la parabole, mais attention à ne pas te tromper de parabole, et surtout attention à ne pas oublier le -b/2a ! Donc si tu sens que tu vas oublier cette relation pendant les vacances d'été, utilise simplement les équations des droites/paraboles pour trouver l'ordonnée raisonne sur les équations !

Sympathique de me donner des conseils ! Je retiens ! J'utiliserai plutôt l'identité remarquable lors de la rédaction ! :we: