1ère S : Etude du lieu géométrique d'un point

[lolo812]

Bonjour à tous,
Aujourd'hui, en essayant de résoudre un exercice de maths, j'ai rencontré un problème ...
Voici sans plus attendre l'exercice en cause, avec le début de travail, sans oublier le schéma, fait rapidement pour mieux visualiser l'ensemble.

Soit ABCD un rectangle. [RIGHT] [/RIGHT]
Pour tout point M de la droite (AB), distinct de B, la droite (CM) coupe la droite (AD) en N.
On appelle I le milieu du segment [MN].

L'objet de l'exercice est :
Etude du lieu géométrique du point I, c'est-à-dire : l'ensemble des positions de I lorsque M décrit la droite (AB) privée de B.

Première partie : conjecture
Pour différents points M, construire ci-contre le point I correspondant.
Que peut-on conjecturer sur la nature de ?

décrit une courbe de la forme :

Deuxième partie : démonstration
On considère le repère orthogonal et on appelle l'abscisse du point M.

1. Déterminer les coordonnées du point I en fonction de .
2. Exprimer en fonction de .
3. En déduire que est la courbe d'équation .

J'ai eu l'idée de commencer par chercher les coordonnées de N pour déterminer les coordonnées de I, mais je n'aboutis à rien ...
J'ai donc essayé de chercher la fonction de la droite (CM), mais comme dans l'autre cas : rien, ou du moins, j'ai quelque-chose, mais d'inexploitable !

Voici quand même ce que j'ai obtenu avec mon raisonnement :
* M (t; 0)
* N (0; ?)

Je sais que (CM) définie par la fonction , est sous la forme :
J'ai donc supposé que : et j'ai cherché le coefficient directeur de car je sais que = le coefficient directeur et = le point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

donc la fonction de ma courbe est :

1. Pour calculer les coordonnées d'un milieu de deux points connus, il suffit d'appliquer :
2. Pour exprimer en fonction de , j'ai utilisé le résultat précédent avec l'équation de ma fonction : et c'est là que tout ce complique, car au bout du calcul, j'obtiens :

La suite, j'ai eu beau chercher, plus rien ne colle ...

Troisième partie : étude de
Soit la fonction définie sur par .

1. Déterminer deux réels a et b tels que : pour tout x différent de , .
2. En déduire les variations de la fonction sur chacun des intervalles : et
3. Tracer la courbe , et démontrer qu'elle possède un centre de symétrie que l'on précisera.

Ici, j'ai trouvé sans le vouloir la réponse au petit 3. :
est sous la forme : , or elle n'est pas centrée en A l'origine.
Je remarque, qu'elle est centrée à l'intersection des diagonales de ABCD, car elle passe par deux de ces points : A et C.

1. (AC) est représentée par la droite d'équation : et
2. (DB) est représentée par la droite d'équation :

Je cherche le point d'intersection de ces deux équations en faisant :






Je cherche ensuite l'ordonnée de mon point :
puis je vérifie en utilisant l'autre équation :


Donc le centre de symétrie à pour coordonnée :

En espérant une réponse de votre part !
Bien amicalement : lolo812

EDIT : Je fais si peur que ça ? :we:

[Sa Majesté]

Tu connais les coordonnées de C et de M, donc du vecteur CM qui est un vecteur directeur de la droite (CM)