1ère S : Bille Spérique=>Fonction Polynôme second degré.

[Nightbringer]

J'ai un petit probleme pour résoudre un exercice de math et j'aurai besoin de votre aide :

1.
-On dépose une bille sphérique de rayon 5 cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16 cm et contenant Vo cm^3, d'eau.
-La surface de l'eau est engente à la bille.
-Calculer le volume Vo d'eau contenu dans le récipient.

Donc j'ai cherché :[B]
-le volume d'une sphère : V= 4/3*pi*R^3
-le volume d'un cylindre : V= pi*R²*h

Rayon de la sphère : R=5cm

Vs= 4/3*pi*R^3=523.5987756cm^3

Rayon du cylindre : R=16/2=8cm
Hauteur du cylindre : 10cm (rayon de la sphère*2 car surface tengente)

Vc= pi*8²*10=2010.619298cm^3

Donc Vo=Vc-Vs=2010-523=1497cm^3

J'espere qu jusque la j'ai tout bon ?

2.
-Pour les billes sphérique de rayon x cm, avec o<x<=8,^plongées dans le récipient contenant Vo cm^3 d'eau, on se propose de savoir si la bille dépasse ou non de la surface de l'eau.
-On note V(x) le volume d'eau, en cm^3, nécéssaire pour recouvrir exactement la bille et on note f(x)=V(x)-Vo.

a) Vérifier que f(x)=4/3pi(-x^3+96x-355).

C'est cette question que je narrive pas a trouver. V(x) ou Vo est égale a :

=(pi*8²*2x)-(4/3*pi*x^3)

D'avance merci pour vos explications!

[Nightbringer]

UP

[EDIT] Ajout d'un shéma !

[Nightbringer]

Personne ne peut m'aider ? Si vous avez besoin de plus d'expliquation demandez moi.

[titine]

D'abord garde les valeures exactes. Ca te donne :
Vo = (1420/3) pi
D'accord ?

De même lorsque le rayon est x :
V cylindre = pi * 8² * 2x = 128 pi
V sphère = (4/3) * pi * x^3
Donc V(x) = V cylindre - V sphère
et f(x) = V(x) - (1420/3) pi ce qui s'arrange et donne bien ce que tu veux ..........
Il faut juste pas avoir peur des calculs et des "pi" !!

[Nightbringer]

Je suis d'accord en gardant les valeurs exactes on a :

Vs=4/3*pi*5^3=500/3pi
Vc=pi*8²*10=640pi

Vo=Vc-Vs=640pi-500/3pi=1920/3pi-500/3pi=1420pi
et 1420pi est bien environs egale a 1487cmcube.

Par contre apres je ne comprend pas :

"V cylindre = pi * 8² * 2x = 128 pi" c'est plutôt pi de x ?

F(x)=V(x)-(1420/3)pi
=[128pi de x - (4/3*pi*x^3) ]-(1420/3)pi

Je suis d'accord mais je ne voit pas comment simplifier cette expression

[titine]

Par contre apres je ne comprend pas :

"V cylindre = pi * 8² * 2x = 128 pi" c'est plutôt pi de x ?

Oui, pardon, c'est 128 pi x

F(x)=V(x)-(1420/3)pi
=[128pi de x - (4/3*pi*x^3) ]-(1420/3)pi
Je suis d'accord mais je ne voit pas comment simplifier cette expression

Tu mets (4/3)pi en facteur et ça te donne bien :
4/3pi(-x^3+96x-355).

[Nightbringer]

Merci bien j'ai compris :

128pi x=96*4/3pi*x
1420/3pi=4/3pi*355

J'arrive bien a f(x)=4/3pi(-x^3+96x-355).