1er exo d'un devoir surveillé

[GuillaumeTS2]

Les points A,B,M et M' sont définis par leurs affixes: A(-3);B(1+i);M(z) et M'(z') On sait que z'=(z+3)/(z-1-i) Determiner l'ensemble des points M dans les cas suivants:
1)-OM'=1
2)-M' est sur laxe des reels(l'axe des abscisses)
3)-M' est sur l'axe des imaginaires purs(ordonnées)


AIDE:pour les questions 2 et 3 :vous pouvez travailler avec z et z(barre) puis poser z=x+iy,x et y sont deux reels OU poser z=x+iy puis determiner les parties reelles et imaginaires de z' en fonction de x et de y puis repondre aux questions

merci de me repondre a cette exercice car je trouve vraiment rien les reponse me permettront de pouvoir mieu analyser et peut etre mieux comprendre l'exercice!!!je vous remercie d'avance!!!!!

[hellow3]

Salut.

1. c'est OM'=1 ou |OM'|=1?

2. si z est un réel, z=z(barre)
donc z-z(barre)=0

On calcules donc z-z(barre)=
(z+3)/(z-1-i) - [(z+3)/(z-1-i)](barre)
=(z+3)/(z-1-i) - (z(barre)+3)/(z(barre)-1+i)
Mise au même dénominateur:
=(z(barre)-1+i)(z+3)/((z-1-i)(z(barre)-1+i)) -
(z(barre)+3)(z-1-i)/ ((z(barre)-1+i)(z-1-i))

=[(z(barre)-1+i)(z+3) - (z(barre)+3)(z-1-i)] / [(z(barre)-1+i)(z-1-i)]

z-z(barre)=0 si et seulement si [(z(barre)-1+i)(z+3) - (z(barre)+3)(z-1-i)]=0
tu remplaces z=x+ib et z(barre)=x-ib comme tes indications te le disent,
et tu simplifies.

3. si z' est un imagianire pur, alors: z'=-z'(barre)
donc z'+z'(barre)=0
tu fais pareil...

[sinderella]

cet exercice m'interesse, comment tu feras dans chacun des cas si c'est OM'=1 ou |OM'|=1?

[GuillaumeTS2]

merci de votre reponse,pour la 1) c OM'=1 et pas OM(barre)=1,si vous pouvez par la suite m'aider aussi pour cette question,je vous en serais reconnaissant!!merci d'avance!!

[hellow3]

Si OM'=z'=1, comme z'=(z+3)/(z-1-i) alors (z+3)=(z-1-i) soit vecteurAM=vecteurBM

si |OM'| = 1
moi je ferais z'*(z'(barre))=|z'|=|OM'|
Mais tu peux aussi transformer la fraction pour avoir z'=Re(z')+iIm(z') et calculer |z'|. (chacun son truc)

z'*(z'(barre))
=(z+3)/(z-1-i) * [(z+3)/(z-1-i)](barre)
=(z+3)/(z-1-i) * (z(barre)+3)/(z(barre)-1+i)

z=a+ib
z(barre)=a-ib

=(z+3)/(a+ib-1-i) * (z(barre)+3)/(a-ib-1+i)
=(z+3)(z(barre)+3)/[(a-1)²+(b-1)²]
=(a+3+ib)(a+3-ib)/[(a-1)²+(b-1)²]
=((a+3)²+b²)/[(a-1)²+(b-1)²]

Or ((a+3)²+b²)/[(a-1)²+(b-1)²]=1
(a+3)²+b² =(a-1)²+(b-1)²
(a+3)²+b² -(a-1)²-(b-1)²=0
a²+6a+9+b² -a²+2a-1 -b²+2b-1=0
8a+2b+7=0
b=-4a-7
C'est une equation de droite.

[sinderella]

et pour la question 2 et 3 que représente M ?

[hellow3]

Si j'ai pas fait d'erreurs de calculs...

2.
...........
...........
y=x/4+3/4 une droite

3.
..........
..........
(x+1)²+(y-1/2)²=17/4
Cercle de centre (-1;1/2) et de rayon V(17)/2.

[sinderella]

oula , tu peux détailler tes calculs car je comprend pas du tout comment tu as fait

[hellow3]

2. si z est un réel, z=z(barre)
donc z-z(barre)=0

On calcules donc z-z(barre)=
(z+3)/(z-1-i) - [(z+3)/(z-1-i)](barre)
=(z+3)/(z-1-i) - (z(barre)+3)/(z(barre)-1+i)
Mise au même dénominateur:
=(z(barre)-1+i)(z+3)/((z-1-i)(z(barre)-1+i)) -
(z(barre)+3)(z-1-i)/ ((z(barre)-1+i)(z-1-i))

=[(z(barre)-1+i)(z+3) - (z(barre)+3)(z-1-i)] / [(z(barre)-1+i)(z-1-i)]

z-z(barre)=0 si et seulement si [(z(barre)-1+i)(z+3) - (z(barre)+3)(z-1-i)]=0

[(z(barre)-1+i)(z+3) - (z(barre)+3)(z-1-i)]=0
z(z(barre)) +3z(barre) -z -3 +iz +3i -z(z(barre))+z(barre)+iz(barre) -3z+3+3i=0
y a des tas de simplifications. En rammasant ce qui reste, on a:
4z(barre)-4z +iz +iz(barre) +6i=0
-4(z-z(barre)) +i(z+z(barre)) +6i=0

Maintenant, en posant z=x+iy, si tu sais z+z(barre)=2x et z-z(barre)=2iy:
8iy +2ix +6i=0
-4y+x+3=0
y=(x+3)/4

[sinderella]

et pour la 3- ?

[hellow3]

3. si z est un imaginaire pur, z=-z(barre)
donc z+z(barre)=0

On calcules donc z+z(barre)=
(z+3)/(z-1-i) + [(z+3)/(z-1-i)](barre)
=(z+3)/(z-1-i) + (z(barre)+3)/(z(barre)-1+i)
Mise au même dénominateur:
=(z(barre)-1+i)(z+3)/((z-1-i)(z(barre)-1+i)) +
(z(barre)+3)(z-1-i)/ ((z(barre)-1+i)(z-1-i))

=[(z(barre)-1+i)(z+3) + (z(barre)+3)(z-1-i)] / [(z(barre)-1+i)(z-1-i)]

z+z(barre)=0 si et seulement si [(z(barre)-1+i)(z+3) + (z(barre)+3)(z-1-i)]=0

[(z(barre)-1+i)(z+3) + (z(barre)+3)(z-1-i)]=0
z(z(barre)) +3z(barre) -z -3 +iz +3i +z(z(barre))-z(barre)-iz(barre) +3z-3-3i=0
y a des tas de simplifications. En rammasant ce qui reste, on a:
2z(z(barre) +2z(barre) +2z -6 +iz -iz(barre)=0
2z(z(barre) +2(z(barre)+z) -6 +i(z -z(barre))=0


Maintenant, en posant z=x+iy, si tu sais z+z(barre)=2x et z-z(barre)=2iy, et z(z(barre))=x²+y²:
2(x²+y²) +2(2x) -6 +i(2iy)=0
2(x²+y²) +2(2x) -6 -2y=0
x² +2x -3 +y² -y=0
(x+1)²-1 -3 +y² -y=0
(x+1)²-1 +(y- 1/2)²- 1/4 -3 =0
(x+1)² +(y- 1/2)² =17/4

Cercle centre(-1;1/2) et de rayon V(17)/2