Plan projectif

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ortollj
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plan projectif

par ortollj » 20 Mai 2018, 22:02

Bonsoir.

Code: Tout sélectionner
# menu view --> 3D Graphic, drag and drop an OK button, put this code inside "On Click" Script Tab
#then clik on  arrow at the left top corner, and then clik on the ok button
#parabolic Parametric:
p=slider(-2,2,0.01)
q=slider(-2,2,0.01)
PlanOffset=slider(-5,5,1)
StartV=-2*pi
EndV=2*pi
#orientation of the plane with respect to the X axis
α=Slider( -pi/2, pi/2, 0.01  )
# set to pi/4
SetValue(α,atan(1))
#orientation of the plane with respect to the Y axis
β=Slider( -pi/2, pi/2, 0.01 )
# set to pi/4
SetValue(β,atan(1))
####
#c: Circle((0, 0), 2)
#conn: Cone(c, 3)
Plan(x, y) = tan(α) x + tan(β) y + PlanOffset
# parabola
#f(x) = 1/x
#circle
f(x) = If(-2 ≤ x ≤ 2, sqrt(2 - x^2))
# first projection on an arbitrary plane ??
#f_{projected} = Curve(t, f(t), t tan(α) + f(t) tan(β) + PlanOffset, t, -10, 10)
# or projection X=x/Z  and Y=y/Z ??
#SetValue(α,0)
#SetValue(β,0)
#f_{projected} = Curve(t / (t + f(t)), f(t) / (t + f(t)), t + f(t), t, -10, 10)
TogP=True
Checkbox( "TogP" )
# ################# end of code in the ok button

# put this code below in "update script Tab of the check box "TogP"
Execute[If[TogP,{"SetValue(α,atan(1))","SetValue(β,atan(1))","f_{projected} = Curve(t, f(t), t tan(α) + f(t) tan(β) + PlanOffset, t, -10, 10)"},{"SetValue(α,0)","SetValue(β,0)","f_{projected} = Curve(t / (t + f(t)), f(t) / (t + f(t)), t + f(t), t, -10, 10)"}]]


tentative sans doute malheureuse pour comprendre ce plan projectif


Texte issue du Livre Livre Henri Paul de Saint-Gervais


Il s’agit bien sûr du début de la géométrie projective,
initiée par Gi- rard Desargues [Desa1639].
Au lieu de considérer une courbe F (x , y ) = 0 dans le plan de coordonnées (x , y ),
on considère une courbe dans le plan projectif de coordonnées homogènes [X : Y : Z ]
définie par une équation polynomiale homogène en trois variables F (X , Y ,Z ) = 0.
Tout point du plan projectif pour lequel Z != 0 définit un point du plan affine
de coordonnées x = X/Z et y = Y /Z si bien que le plan projectif apparaît comme le plan
auquel on a ajouté la droite à l’infini Z = 0.
On comprend alors qu’une hyperbole du plan affine rencontre l’infini en deux points,
correspondant aux deux asymptotes, alors qu’une parabole est tangente à la droite à l’infini.
Ainsi, l’utilisation de la géométrie projective simplifie la situation de manière importante
et on revient à la situation initiale

Qu'est ce que ce plan projectif ?, est ce un plan dont on choisit arbitrairement l'orientation et sa position ?
et l'on projette alors la courbe sur ce plan ? ce qui ferait qu'en modulant l'orientation et la position du plan
on obtiendrait divers type de courbes, ou est ce autre chose ?
si j'avais su j'aurais pas venu.



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Ben314
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Re: plan projectif

par Ben314 » 20 Mai 2018, 23:16

Salut,
Tout dépend de ce que tu veut faire :
- Si c'est juste avoir une "vague idée" de ce qu'est le plan projectif, alors oui, on peut effectivement dire que c'est le plan affine affine euclidien auquel on "rajoute" une droite à l'infini. Ca permet de vaguement comprendre le principe et les idées, mais bien évidement, ça permet pas de démontrer proprement quoi que ce soit (because que "d'ajouter une droit à l'infini", ça veut évidement rien dire d'un point de vue strictement mathématique).
- Si tu veut faire des truc propres (donc des preuves) alors il te faut forcément utiliser LA vrai définition de ce qu'est un plan projectif : c'est en fait l'ensemble des droites vectorielles de l'espace affine de dimension 3 : un point projectif, c'est une droite vectorielle de R^3 ; une droite projective, c'est un plan vectoriel de R^3, etc...
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ortollj
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Re: plan projectif

par ortollj » 24 Mai 2018, 20:00

merci de ta réponse Ben314.
Mais ma question etait surtout a propos de ce choix du Point, ou de la Droite, ou du Plan projectif.
comment les choisit on , comme on veut, ou y en a t'il de déterminés ?( préferable pour l'etude dune certaine fonction).
Désolé si c'est une question stupide mais je suis un peu perdu. :gene4: :gene4:
j'avoue que je suis resté bloqué sur cette definition, peut etre y a t'il des explications plus loin dans le texte
je regarderai ce weekend.
si j'avais su j'aurais pas venu.

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Re: plan projectif

par Ben314 » 24 Mai 2018, 20:42

ortollj a écrit:Mais ma question etait surtout a propos de ce choix du Point, ou de la Droite, ou du Plan projectif.
comment les choisit on , comme on veut, ou y en a t'il de déterminés ?( préferable pour l'etude dune certaine fonction).
Je comprend pas la question : comment "choisi"-t-on quelle point ?, quel droite ?, quel plan ?

Si tu fait référence à ce que j'ai écrit, ben tu ne "choisi" absolument rien du tout : l'ENSEMBLE des points d'un plan projectif (sur un corps K), c'est très exactement l'ENSEMBLE des droites vectorielles de K^3 : toute droite vectorielle de K^3 est (du verbe être) un "point projectif".
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ortollj
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Re: plan projectif

par ortollj » 25 Mai 2018, 19:13

En fait je crois que je n'ai pas les connaissances mathématiques suffisantes pour tenter de lire ce livre. :mrgreen:
si j'avais su j'aurais pas venu.

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ortollj
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Re: plan projectif

par ortollj » 27 Juil 2018, 12:17

si j'avais su j'aurais pas venu.

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Re: plan projectif

par ortollj » 11 Aoû 2018, 23:13

Bonjour
Est ce que mon illustration Geogebra de la projection de f(z)=z^2 et f(z)=1/z vous semble correcte ?
f(1/z) dessine un espece d'œil tandis que f(z^2) dessine comme une virgule qui s'entortille (sens trigo vu du pole sud) autour du pole sud(vers l'infini).

f(1/z) , f(z^2), Stereo graphic Projection
J'espere avoir compris :mrgreen:
si j'avais su j'aurais pas venu.

 

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