Analyse numérique - resolution equations différentielles

[julien192]

En fait, je n'ai pas de question précise, mon problème est plutot que je ne comprend pas vraiment l'énoncé. C'est sur que je manque de connaissance dans ce domaine, mais je trouve ca vraiment compliqué.
Donc serait-il possible qu'on m'explicite un peu le sujet avec un ou plusieur exemple ?

Intégrateur simplectique d'ordre 2
La mécanique classique admet des lois de conservation telles la conservation de l'énergie totale d'un système hamiltonien ou encore la
conservation de moment cinétique. Le but de cet exercice est d'explorer une méthode d'intégration simple qui possède une propriété
intrinsèque en accord avec ces principes de conservation.
La méthode proposée porte le nom de "saute-mouton" ou "leapfrog" (ang.). Une recherche sur Wikipedia pourra être utile. L'idée de
base de cette méthode est de reprendre le schéma de Euler pour intégrer la position x à partir de la vitesse v mais en introduisant un
décalage d'un demi pas entre les deux quantités dx/dt et v


On remarque que x et v ne sont pas évalués au même instant. Les variables de position et de vitesse sont mises
à jour successivement, l'une "enjambant" l'autre, en quelque sorte. Chaque variable est mise à jour pour le même pas constant t. Le
système d'équations à résoudre est de la forme

dx/dt = x(point) = v
dv/dt = v(point) = f(x, v, t)

pour un système à une dimension, où f(x,v,t) est spécifique au problème posé. Les équations (1) peuvent être exprimées sous forme
de différences finies au moyen d'un schéma semblable à celui d'Euler. On définira par exemple :
xi+1 = xi + vi+1/2!t
vi+1/2 = v(t + 1/2!t) = v([i + 1/2]!t), i = 0, 1, 2, 3.. Eq. 2
1.1 En vous basant sur les équations (1) et (2), développez les équations aux différences finies pour obtenir l'expression de
la vitesse au pas i+3/2 (le pendant de l'expression pour xi+1 dans Eq. 2). Vous procéderez à partir d'un développement limité de
Taylor.
1.2 Obtenez l'expression explicite de l'erreur de troncature à partir de la série numérique de Taylor en §1.1; on tronquera au terme
quadratique en t. Cette expression aura la forme d'une relation entre la vitesse au pas suivant, i i+1, en fonction des position et
vitesse au pas actuel, i. Inspirez-vous du schéma ci-haut.
Question technique : comment lancer l'intégration à partir de conditions initiales (x,v) données au même temps initial t0 ?
Donnez une exemple concret.

merci de votre aide

[GzD]

Tu viens de poster dans la section "informatique" et problème qui est purement mathématique ... il faudrait peut-être que tu postes au bon endroit si tu veux de l'aide :(

De plus tu n'as pas posé de réelles questions auxquelles nous pourrions te répondre et le sujet semble pourtant clair : formule des questions précises si tu veux que l'on puisse t'éclairer.

[julien192]

En fait je ne savais pas exactement où le poster.
C'est sur que c'est loin d'être du php.
Enfaite, ce n'est pas tout a fait des math étant donné que l'on discrétise et que l'on fait des approximation.
En gros, c'est les étapes avant de mettre en machine.

Pour ce qui est d'être plus précis pour les questions ..
il s'agit de la question 1 pour commencer :

Pour mieux comprendre la question, j'ai essayé de passer de l'équation (1) à (2) -> (dx/dt = v à x(i+1) = x(i) + v(i+1/2)*delta t )

dx = vdt, que j'intègre de i à i+1
x(i+1) - x(i) = v(i+1/2) * delta t, je trouve bien (2) (J'ai pris v(i+1/2) car c'est la seule valeur de v connu dans l'intervalle )


bon, après j'ai essayé de faire la meme chose en intégrant de i à i+3/2

x(i+3/2) - x(i) = (v(i+1/2)+v(i+3/2))/2 * 3* (delta t) /2

la réponse parrait bizzare, mais pourrait etre possible
Seulement dans la question, le prof demande de trouver ce résultat à partir d'un développement limité, mais je ne sais pas de quoi je dois partir .